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ich habe eine Frage bezüglich der vollständigen Induktion. Das Beweisverfahren hab ich jetzt grob verstanden, jedoch komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter.

Zeigen Sie, dass die Ungleichung n^3/3 < 3n-3 für n = 2 gilt, aber nicht für alle anderen n aus den natürlichen Zahlen.

Wie genau geht man da vor. Setze ich auf beiden Seiten einfach n+1 ein und sage es gilt nicht, da offensichtlich?

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Beste Antwort

zeige mit Hilfe vollständiger Induktion,

dass n^3/3>=3n-3 ist, für n>2 (den Fall n=1 separat betrachten)

Induktionsanfang:

n=3

3^3/3>=3*3-3 passt

Induktionsschritt:

(n+1)^3/3=(n^3+3n^2+3n+1)/3=n^3/3+(3n^2+3n+1)/3>=3n-3+(3n^2+3n+1)/3>=3n-3+n^2+n

>=3n+n^2>=3n=3(n+1)-3

Avatar von 37 k
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Zeigen Sie, dass die Ungleichung n3/3 < 3n-3 für n = 2 gilt,

aber nicht für alle anderen n aus den natürlichen Zahlen.

Du brauchst doch nur ein Gegenbeispiel  etwa n=10

da ist  1000/3  <  30 - 3    sicherlich eine falsche Aussage.

Avatar von 289 k 🚀
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Wenn n3/3 < 3n-3 für n ≠ 2 falsch sein soll, dann muss wohl insbesondere n3/3 ≥ 3n-3 für alle n ≥ 3 sein. Das wirst Du ja in der ueblichen Weise bestaetigen koennen.

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Zeigen Sie, dass die Ungleichung n3/3 < 3n-3 für n = 2 gilt, aber nicht für alle anderen n aus den natürlichen Zahlen.

Für alle anderen Werte von n muss dann 

 n3/3 ≥ 3n-3   für n ≥ 3 oder  n = 1  [ ggf. n = 0 ]

gelten.

 n3/3 ≥ 3n-3   für n ≥ 3    zeigst du wie gewohnt mit v. Induktion.

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

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