Ungleichung widerlegen mithilfe vollständige Induktion

Question

ich habe eine Frage bezüglich der vollständigen Induktion. Das Beweisverfahren hab ich jetzt grob verstanden, jedoch komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter.

Zeigen Sie, dass die Ungleichung n^3/3 < 3n-3 für n = 2 gilt, aber nicht für alle anderen n aus den natürlichen Zahlen.

Wie genau geht man da vor. Setze ich auf beiden Seiten einfach n+1 ein und sage es gilt nicht, da offensichtlich?

Answer 1

zeige mit Hilfe vollständiger Induktion,

dass n^3/3>=3n-3 ist, für n>2 (den Fall n=1 separat betrachten)

Induktionsanfang:

n=3

3^3/3>=3*3-3 passt

Induktionsschritt:

(n+1)^3/3=(n^3+3n^2+3n+1)/3=n^3/3+(3n^2+3n+1)/3>=3n-3+(3n^2+3n+1)/3>=3n-3+n^2+n

>=3n+n^2>=3n=3(n+1)-3

Answer 2

Zeigen Sie, dass die Ungleichung n³/3 < 3n-3 für n = 2 gilt,

aber nicht für alle anderen n aus den natürlichen Zahlen.

Du brauchst doch nur ein Gegenbeispiel  etwa n=10

da ist  1000/3  <  30 - 3    sicherlich eine falsche Aussage.

Answer 3

Wenn n³/3 < 3n-3 für n ≠ 2 falsch sein soll, dann muss wohl insbesondere n³/3 ≥ 3n-3 für alle n ≥ 3 sein. Das wirst Du ja in der ueblichen Weise bestaetigen koennen.

Answer 4

Zeigen Sie, dass die Ungleichung n³/3 < 3n-3 für n = 2 gilt, aber nicht für alle anderen n aus den natürlichen Zahlen.

Für alle anderen Werte von n muss dann 

 n³/3 ≥ 3n-3   für n ≥ 3 oder  n = 1  [ ggf. n = 0 ]

gelten.

 n³/3 ≥ 3n-3   für n ≥ 3    zeigst du wie gewohnt mit v. Induktion.

Gruß Wolfgang