Hi,
es sind jeweils die 3 Eigenschaften, reflexiv, symmetrisch und transitiv zu untersuchen.
Zu (1)
Refelxiv: \( a \cdot a > 0 \) wegen \( a \in \mathbb{Q}\backslash \{0\} \)
Symmetrisch: \( a \cdot b = b \cdot a > 0 \) wenn \( a \cdot b > 0 \) gilt.
Transitiv: Es gelte \( a \cdot b > 0 \) und \( b \cdot c > 0 \)
Ist \( b > 0 \) folgt \( a > 0 \) und \( c > 0 \) und ist \( b < 0 \) folgt \( a < 0 \) und \( c < 0 \). In beiden Fällen folgt \( a \cdot c > 0 \) also liegt eine Äquvivalenzrelation vor.
Zu(2)
Nehme die Zahlen \( a = 1 \), \( b = 2 \) und \( c = 3 \), dann gilt, \( a \sim b \) und \( b \sim c \) aber nicht \( a \sim c \) also ist die Transitivität verletzt und es liegt somit keine Äquvivalenzrelation vor.
