Wie zeige ich f(f^{-1}(B1)) ⊆ B1?

Question

 Seien A,B Mengen, f : A → B eine Abbildung und A1,A2 ⊆ A sowie B1 ⊆ B. Zeigen Sie:

 f(f^{-1}(B1)) ⊆ B1. Geben Sie zudem ein Gegenbeispiel für die andere Teilmengeninklusion an.

Kann man f(f^-1(B1)) an dieser Stelle vereinfachen?

Answer 1

> Zeigen Sie:  f(f^-1(B₁)) ⊆ B₁.

Sei y ∈ f(f^-1(B₁)). Ferner sei x ∈ f^-1(B₁) mit f(x) = y (existiert wegen Definition der Anwendung von Funktionen auf Mengen). Wegen x ∈ f^-1(B₁) ist f(x) ∈ B₁, also y ∈ B₁.

> Geben Sie zudem ein Gegenbeispiel für die andere Teilmengeninklusion an.

A = B = B₁ = ℝ, f(x) = x².