Beweis mit vollständiger Induktion, dass die Summe ersten natürlichen ungeraden Zahlen bis 2 n+1 gleich (n+1)^2 ist.

Question

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die Summe der ersten natürlichen ungeraden Zahlen bis 2 n+1 gleich (n+1)2 ist.

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Answer 1

Induktionsanfang 1+3=2².

Unter der Induktionsvoraussetzung 1+3+5+...+(2n+1)=(n+1)² muss gezeigt werden, dass auch

1+3+5+...+(2n+1)+(2n+3)=(n+2)² gilt. Links ersetzen wir alle Summanden mit Ausnahme des letzten durch die Induktionsvoraussetung: (n+1)²+(2n+3)=(n+2)². Jetzt lösen wir alle Klammern auf und erhalten nach Zusammenfassen n²+4n+4=n²+4n+4, was zu zeigen war.