Zeigen Sie, dass die Summe der ersten n ungeraden Zahlen durch n^{2} gegeben ist:

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Summe der ersten \( n \) ungeraden Zahlen durch \( n^{2} \) gegeben ist:

\( \sum \limits_{i=1}^{n}(2 i-1)=n^{2} . \)

Nutzen Sie keine vollständige Induktion.

Answer 1

Aloha :)

Behauptung: \(\quad\sum\limits_{i=1}^n(2i-1)=n^2\)

Die Formel ist natürlich sofort klar, denn:$$\begin{array}{c}1 & \red3 & \green5 & \blue{7} &\pink 9\\\red3 & \red3 &\green 5 & \blue{7} & \pink 9\\\green 5 & \green5 & \green5 & \blue{7} & \pink 9\\\blue{7} & \blue{7} & \blue{7} & \blue{7} & \pink 9\\\pink 9 & \pink 9 & \pink 9 & \pink 9 & \pink 9\end{array}$$

Um das mit vollständiger Induktion zu zeigen, kannst du wie folgt vorgehen:

Verankerung bei \(n=1\):$$\sum\limits_{i=1}^n(2i-1)=2\cdot1-1=1=1^2=n^2\quad\checkmark$$

Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\):$$\sum\limits_{i=1}^{n+1}(2i-1)=\underbrace{\red{\sum\limits_{i=1}^{n}(2i-1)}}_{=n^2\text{ nach Ind. Vor.}}+\underbrace{\green{2(n+1)-1}}_{\text{Summand für \(\small i=n+1\)}}=\red{n^2}+\green{2n+1}=(n+1)^2\quad\checkmark$$

Comments

aber wie zeige ich das ohne vollständige Induktion ?

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@LisaNauwied
Hab ich doch. Schau mal meine Antwort an.
Wenn du dort etwas nicht verstehst, frag einfach.

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Hast du die Anordnung der Zahlen zu einem Quadrat nicht verstanden?

Du brauchst \(n\) Zahlen zum Anlegen an die untere Kante, \(n\) Zahlen zum Anlegen an die rechte Kante und eine Zahl für die Schließung des Quadrates. Das sind insgesamt \((2n+1)\) belegte Felder, die bei jedem Schritt dazu kommen.

Answer 2

Die Summe ist             s= 1 + 3 + 5 +...+2n-5 + 2n-3 + 2n-1.

Die Summe ist auch  s=(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+ ... + 5 + 3 + 1.

Wenn man beide Zeilen addiert, erhält man

2s= (1+ 2n-1) + (3 + 2n-3) + (5 + 2n-5) + ...

wobei jede Klammer 2n ergibt und es n solche Klammern gibt.

Also gilt 2s = (2n) * n und damit s=n².

Answer 3

\( \sum \limits_{i=1}^{n}(2 i-1)= 2\sum\limits_{i=1}^{n}i - n= 2\frac{n(n+1)}2 - n=n^2\)