Relation formale Schreibweise

Question

wie schreibt man die Definition einer Relation in der üblichen Schreibweise:

\( \sim : A \times B \to ???? \)

\( ???? \mapsto ???? \)

Grüße

Answer 1

Eine Relation ist eine Menge von Paaren.  Also etwa die Kleinerrelation für reelle Zahlen

da schreibst du  { (x;y) ∈ IR x IR  |    x < y } 

Comments

was eine Relation ist, weiß ich. Relationen werden aber oft einfach umgangssprachlich hingeschrieben. Mir geht es um den Formalismus.

Die Regel heißt doch (in kurz):

name : rein --> raus

Für eine Relation dann ??

\( \sim : A \times B \to {\cal P} (A\times B) \).

Und wie dann die zweite Zeile:

\( ???? \mapsto ??? \).

Grüße

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Kann nicht ganz folgen.

Deine Schreibweise sieht mehr aus wie Abbildung.Zur Def. einer Rel. - meine ich -  muss eine

Eigenschaft festgelegt werden, die die Komponenten

der Paare erfüllen müssen.

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wenn Du eine Funktion (als Spezialform einer Relation) hast, schreibt Du normalerweise

\( f : \Bbb R \to \Bbb R \) und dann (z.B.) \( x \mapsto x^2 \).

Das bedeutet: Man nimmt ein Element aus \( \Bbb R \), gibt das ein die Abbildung \( f \) ein, rechnet dann und bekommt ein Element aus \( \Bbb R \) heraus.

In Deiner Mengenschreibweise müsste man dann schreiben:

\( f = \{ (x,y) \mid y = x^2 \} \).

Diesen (obigen normalen) bei Funktionen üblichen Formalismus muss man doch auch allgemein auf Relationen übertragen können.

Grüße

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Kann man nicht, weil hier zu einem x ja mehrere verschiedene y-Werte

gehören können.

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man kann Funktion doch auch implizit definieren, z.B.

\( f = \{ (x,y) \mid x^2+y^2=1 \} \)

Im Hinblick darauf, dass eine Relation eine Teilmenge des Kreuzproduktes ist, sollte \( ~\sim : A \times B \to {\cal P}(A \times B) \) ( \( {\cal P} \) Potenzmenge) doch richtig sein?

Grüße

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Ja, wie der impliziten Def. von Funktionen kann man

auch Relationen definieren.

Aber dein Ansatz mit dem Pfeil würde ja heißen:Eine Abb. von AxB  in die Potenzmenge von AxB

Damit würde jedem Paar aus AxB  eine Menge von Paaren

- also eine Relation - zugeordnet .

Das macht dann Sinn, wenn man viele Relationen betrachtet,etwa zu jedem Paar ( a;b) die Relation

{ (x;y) ∈ IR x IR |   ( x-a)² + ( y-b)² = 1  }also zu jedem Punkt (a;b) den Kreis um (a;b) mit r=1 .

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Denkfehler. Bei \( A \times B \to {\cal P}(A \times B) \) bekommen ich für jedes Paar eine Menge, aber ich will eine Menge für alle Paare zusammen.

Mache mir einen besseren Vorschlag.

Grüße

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wie ich schon schrieb:


Das macht dann Sinn, wenn man viele Relationen betrachtet, etwa zu jedem Paar ( a;b) die Relation  ...