Bestimmen Sie sämtliche/alle Lösungen der Gleichung Bsp. z^6 +5 = 4z^3

Question

Es sei i die imaginäre Einheit mit i^2=1

(1)Bestimmen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung z¹⁰ + 1024 =0

und

(2)Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung z⁶ +5 = 4z³

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Answer 1

Hallo MatheERSTI,

a)

Allgemeine Anleitung:

 Lösung der komplexen Gleichung  zⁿ = w      [ n ∈ ℕ , n ≥ 2 ]

Bei dir:  w = - 1024 + 0 · i     ; n = 10   

w hat dann eine der Formen  w  =  a + i · b  = r · e^i ·φ  =  r · ( cos(φ) + i · sin(φ) ) 

 [ oder w muss in eine solche umgerechnet werden ].

Den Betrag  |w| = r  und das Argument φ_w  kann man dann direkt ablesen oder aus folgenden Formeln berechnen:

r = √(a² + b²)    und      φ_w = arccos(a/r) wenn b≥0    [ - arccos(a/r) wenn b<0 ] 

Die n Werte z_k  für z = ⁿ√w  erhält man mit der Indizierung k = 0,1, ... , n-1

aus der Formel    z_k = ⁿ√r · [ (cos( (φ_w + k · 2π) / n ) + i · sin( (φ_w + k · 2π) / n ) ] 

[ Die Eulersche Form ist  jeweils  z_k =  ⁿ√r · e^{i·(φw+k·2π)/n} ]

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Kontrolllösung:

 z = - √(5/2 - √5/2) - i·(√5/2 + 1/2)   ∨   z = - √(5/2 - √5/2) + i·(√5/2 + 1/2) 

∨  z = √(5/2 - √5/2) - i·(√5/2 + 1/2)   ∨   z = √(5/2 - √5/2) + i·(√5/2 + 1/2) 

∨  z = - √(√5/2 + 5/2) + i·(1/2 - √5/2)   ∨   z = - √(√5/2 + 5/2) + i·(√5/2 - 1/2) 

∨  z = √(√5/2 + 5/2) + i·(1/2 - √5/2) ∨ z = √(√5/2 + 5/2) + i·(√5/2 - 1/2) 

∨  z = - 2·i   ∨   z = 2·i     

Gerundet:

z = - 2·i   ∨   z = 2·i   ∨   z = -1.175570504 - 1.618033988·i 

 ∨   z = -1.175570504 + 1.618033988·i   ∨   z = 1.175570504 - 1.618033988·i

 ∨   z = 1.175570504 + 1.618033988·i   ∨   z = -1.902113032 - 0.6180339887·i

 ∨   z = -1.902113032 + 0.6180339887·i   ∨   z = 1.902113032 - 0.6180339887·i

 ∨   z = 1.902113032 + 0.6180339887·i

b)  

 z⁶  + 5  =  4z³  

Setze  z³ = x  (x komplex!)  und löse  die quadratische Gleichung x² - 4x + 5 = 0  mit der pq-Formel

bei der Wurzel und der Rücksubstitution kannst du dann wie oben vorgehen.

Kontrolllösung (Rechnerlösungen) :

z = -0.8203632448 + 1.018322195·i   ∨   z = -0.4717112677 - 1.219616507·i  

∨   z = -0.4717112677 + 1.219616507·i   ∨   z = -0.8203632448 - 1.018322195·i  

∨ z = 1.292074512 + 0.2012943128·i   ∨   z = 1.292074512 - 0.2012943128·i

Gruß Wolfgang