f: Q->Q und g:Q->Q entweder injektiv oder surjektiv

Question

Ich bräuchte zwei Abbildungen f und g :Q->Q mit f ist injektiv und nicht surjektiv und g ist surjektiv und nicht injektiv

Comments

Falsche Antwort zurückgezogen.

( Die Beispiele bezogen sich  f,g : ℝ → ℝ )  

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Sollte mit Q nicht ℚ gemeint sein? Dann wird die Aufgabe naemlich schon interessanter ...

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Du hast natürlich recht, danke für den Hinweis. Ich ziehe die Antwort zurück.

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f(n) = n+1  ;  g(n) = n-1

Answer 1

Schau mal unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Cantorsche_Paarungsfunktion#Definition

Wenn du dann überlegst, dass es zu jeder positiven rat. Zahl x   genau ein

Paar ( p;q) aus N⁺ x N⁺    gibt  mit   x = p/q   :Auf diese Paare wendest du die Cantorsche Paarungsfunktion  π  an, also

bildest  q + (1/2)(p+q)(p+q+1) 

Dann hast du schon mal eine Injektive Abb. von Q⁺ nach N⁺

Mit Q ^- machst du das entsprechende :  bildest Paare  (p;q) mit  x = -p / q 


und setzt  noch ein minus vor das  π  .

Damit bildest du    Q ^-   Injektiv  auf  Z \ IN  abund dann noch die 0 auf die 0.

Damit hast du eine Injektive Funktion von Q nach Z und

diese ist für  Q nach Q betrachtet sicher nicht surjektiv, weil

z.B.   1/2 als  Bild nicht vorkommt.

Comments

Wenn du dann überlegst, dass es zu jeder positiven rat. Zahl x   genau ein
Paar ( p;q) aus N⁺ x N⁺    gibt  mit   x = p/q 

Ich überlege und überlege und überlege und überlege

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Was ist mit x=1/2=2/4? Das ist nicht eindeutig.

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Zu jeder positiven rationalen Zahl gibt es genau ein teilerfremdes Paar p,q aus N x N.

Answer 2

Es gibt ganz einfache Lösungen, z.B. f(x) = x + H(x) und g(x) = x - H(x). Dabei ist H die Heaviside-Funktion. Etwas trickreicher (aber nicht arg) ist f(x) = x³. Ueberleg Dir selber, warum das Lösungen sind. Dann hast Du wenigstens etwas selber gemacht.