Untersuchen Sie ob durch folgende Angaben von Definitions- und Zielbereich die Funktion f injektiv oder surjektiv ist

Question

Untersuchen Sie zu der Abbildungsvorschrift
         
f(n) ={    n/2, falls n ∈ ℕ gerade
              n−1/2 , falls n ∈ℕ ungerade

ob durch folgende Angaben von Definitions- und Zielbereich die Funktion f injektiv oder surjektiv ist:

a) f : ℕ→ℤ

b) f : ℕ→ℕ₀

c) f :2ℕ→ℕ

d) f :2ℕ→ℕ₀

Answer 1

du musst die Definitionen für die Injektivität und Surjektivität anwenden.

$$\text{Sei }f:X\rightarrow Y\text{ eine Abbildung.}$$

Injektivität:

$$\forall x_1,x_2\in X:f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2.$$

Surjektivität:

$$\forall y\in Y \ \exists x\in X: y=f(x).$$

Nun musst du das auf deine Abbildung mit Fallunterscheidung anweden. Also betrachte es zunächst für gerade n und dann für ungerade n pro Aufgabenteil.

Comments

a)

1. Fall: n/2, falls n ∈ ℕ gerade

f: ℕ -->ℤ bzw. n-->n/2

Sei x₁,x₂ ∈ ℕ mit f(x₁)=f(x₂)

x₁/2=x₂/2         /*2

x₁=x₂ also injektiv

Sei y ∈ ℤ, es gibt ein n ∈ ℕ mit: y=f(n)

Es folgt: y=n/2 und weil n ∈ ℕ (gerade zahlen) dann kann nicht y ∈ ℤ negativ sein, somit nicht surjektiv. Daraus folgt also nicht bijektiv

2. Fall: n-1/2, falls n ∈ ℕ ungerade

f: ℕ -->ℤ bzw. n-->n-1/2

Sei x₁,x₂ ∈ ℕ mit f(x₁)=f(x₂)

x₁-1/2=x₂-1/2        /*2

x₁-1=x₂-1
x₁=x₂ also injektiv

Sei y ∈ ℤ, es gibt ein n ∈ ℕ mit: y=f(n)

Es folgt: y=n-1/2 und weil n ∈ ℕ (ungerade zahlen) dann kann nicht y ∈ ℤ negativ sein, somit nicht surjektiv. Daraus folgt also nicht bijektiv.

Habe ich die Aufgabe richtig gemacht?

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bis auf einen kleinen Umformungsfehler bei Fall  2 zur Injektivität, ist dir der Ablauf, die Injektivität zu zeigen gut gelungen. :)

Fall 2 Injektivität

$$\begin{aligned} x_1-\frac{1}{2}&=x_2-\frac{1}{2}&\quad &|\cdot 2\\2\cdot x_1-1&=2\cdot x_2-1&\quad &|+1\\2\cdot x_1&=2\cdot x_2&\quad &|:2\\x_1&=x_2 \end{aligned}$$

Nun zur Surjektivität. Diesen Teil solltest du besser anders angehen, weil du sofort die Behauptung (die Gleichung y=n/2) aufstellst und erst dann argumentierst. Nun ist es aber bei der Surjektivität so, dass das y∈,,irgendeine Menge" vorgegeben ist. Darauf musst du nun aufbauen, indem du die Gleichung nach deinem Argument (hier ist es n) umformst. Und jetzt schaust, du ob, dein n∈,,irgendeine (vielleicht auch andere) Menge" es ermöglicht, dass jedes y∈,,irgendeine Menge" angenommen werden kann.

Also

Fall 1:

Sei y∈ℤ und sei n∈ℕ. Dann ist $$\begin{aligned} y=f(n) \Leftrightarrow y&=\frac{n}{2}&\quad &|\cdot 2\\2\cdot y&=n \end{aligned}$$

Und hier sieht man, dass eben nicht für jedes y∈ℤ ein n∈ℕ gefunden werden kann, weshalb keine Surjektivität vorliegt.

Genauso machst du auch bei Fall 2 zuerst die Umformung n und ziehst dann daraus deine Schlussfolgerungen.