Ebenen / Ebenengleichung

Question

Hallo.

Vielleicht kann jemand helfen.

Stellen Sie eine Normalengleichung der Ebene E auf.

a) E geht durch die Punkte A (1 I 1 I -3), B (0 I 2 I 2) und C (2 I 1 I -5).

b) E hat de Parameterdarstellung

$$E:\vec{ x }=\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} -1\\1\\2 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 2\\2\\0 \end{pmatrix}.$$

Unknown: TeX korrigiert :)

Comments

Schön, dass du dich am Formelsatz versuchst. Hier deine Aufgabe, etwas nachbearbeitet:

$$ \text{Stellen Sie eine Normalengleichung der Ebene } E \text{ auf.}\\\text{a) } E \text{ geht durch die Punkte } A(1,1,-3), B(0,2,2) \text{ und } C(2, 1,-5).\\\text{b)} E \text{ hat de Parameterdarstellung } E:\overrightarrow{ x }=\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1\\1\\2 \end{pmatrix}.$$

Welche Hilfsmittel benutzt ihr im Unterricht? Skalarprodukt, Vektorprodukt, GTR?

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Skalarprodukt und Vektorprodukt.

Answer 1

Hi,

stelle zwei Spannvektoren auf, dabei seien die Ortsvektoren in Kleinbuchstaben den Punkten zugehörig.

$$\vec u = \vec a - \vec c = \begin{pmatrix}1 - 2\\1 - 1\\1 - (-5)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\0\\6\end{pmatrix}$$

$$\vec v = \vec b - \vec c = \begin{pmatrix}0 - 2\\2 - 1\\2 - (-5)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - 2\\1 \\7\end{pmatrix}$$

Nun haben wir ja:

$$E : \vec n \cdot(\vec c - \vec c) = 0$$

Für den Normalenvektor das Kreuzprodukt mit u und v bestimmen (ich gehe mal davon aus, das kannst Du?!)

$$\vec n = \begin{pmatrix}6\\5\\1\end{pmatrix}$$

$$\to E: \begin{pmatrix}6\\5\\1\end{pmatrix}\cdot\left(\vec x - \begin{pmatrix}2\\1\\-5\end{pmatrix}\right) = 0$$

Grüße

Comments

b)

Bilde wieder das Kreuzprodukt. Aus den Stützvektoren

$$\vec n = \begin{pmatrix}-4\\4\\-4\end{pmatrix}$$

Damit ergibt sich direkt:

$$E: \begin{pmatrix}-4\\4\\-4\end{pmatrix}\cdot\left(\vec x - \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right) = 0$$

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Das Kreuzprodukt muss im Unterricht nicht bahandelt werden, es geht daher auch mit dem Skalarprodukt. Bei deinen Ebenengleichungen fehlt noch \( = \dots \).

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Ohja natürlich. Ebenen sind schon wieder eine Weile her^^.

Danke :).