Ausklammern bei Brüchen und ganzen Zahlen. Warum ist: 2 - 1/2^k = 2*(1- 1/(2*2^k))?

Question

Ich habe folgenden Term:

2 - 1/2^k
ausgesprochen:

zwei minus einundeinhalb hoch k
Dabei sollte jetzt die zwei herausgezogen werden:

2 * (1 - 1/2*2^k)

Frage: Warum kommt die zwei in den Nenner rein, wenn man die zwei aus dem Term nimmt??
Gibt es dafür eine Regel?? eine mathematische Bezeichnung??

Danke

Comments

Bitte nochmals genau  durchlesen!

 einundeinhalb hoch k wäre:

(1.5)^k

Bei 2 * (1 - 1/2*2^k)

meinst du sicher 2 * (1 - 1/(2*2^k)) 

Hier wird 2 ausgeklammert nach dem Ditributivgetz: Vgl. z.B.

https://www.matheretter.de/wiki/distributivgesetz

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Solche einfachen Beispiel, wie im Video gezeigt sind mir verständlich.

Allerdings kann ich keinen Zusammenhang finden wenn da steht:

(2 - 1/2k), dass wenn ich die 2 aus der ersten Zahl im Term herausziehe, gleichzeitig die zwei unter den Bruch bringen muss.....

Warum muss man das so machen?????

Wie ist die ausführliche Erklärung im Bezug auf die Brüche??

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Wie in meiner Antwort unten gesagt: 

Wenn Du etwas ausklammerst, musst Du jedes Element innerhalb der Klammer durch diese ausgeklammerte Zahl dividieren.

Und geteilt durch 2 ist nichts anderes als mal 1/2.

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Vielen vielen Dank,


das heisst, wenn man beim Term ausklammer wie z.B hier:

(6a + 12) ==> 6(a+2) führe ich somit eine division durch sechs durch?

Dann ist es verständlich, warum die zwei unter den Bruch kommt.

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Entschuldigung, ich hab doch noch eine kleine Frage:

und zwar wenn ich jedes Element durch zwei Teile und wie in meinem Beispiel:

(2 - 1/2k)

dann ergibt das ja:
2( 1- 1/2^k * 2)

Aber wenn ich 1/2^k durch zwei teile, sollte ja eigentlich 1/4^k kommen??

warum habe ich unter dem Bruch 2^k * 2 statt einfach 4^k??

Danke

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Du teilst 1/2^k durch 2. 

Dann steht im Zähler die 1, und im Nenner steht 2^k * 2.

Das ist soweit klar, denke ich. 

2^k heißt aber, dass man die 2 k-mal mit sich selbst multipliziert (z.B. 2^4 = 2 * 2 * 2 * 2).

Dann kommt aber nochmals eine Multiplikation mit 2 hinzu (im Beispiel: 2 * 2 * 2 * 2 * 2 ; und jetzt haben wir nicht mehr 2^4, sondern 2^5).

Anderes Beispiel: 

2^{10} = 1024

2^{10} * 2 = 2048 = 2^{11}

Wenn Du aber stattdessen rechnen würdest:

4^{10}, dann kämst Du auf 1.048.576, also auf mehr als eine Million :-)

 

Jetzt etwas klarer? 

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Zum Beispiel oben mit

(6a + 12) = 6 * (a + 2)

Richtig, genauso ist es!

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vielen Dank noch mal,

jetzt weiss ich bescheid.

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Prima, das freut mich!

Gern geschehen :-)

Answer 1

2 - (1/2)^k

Wenn Du jetzt die 2 ausklammerst, wird ja alles innerhalb der Klammer mit 2 multipliziert. 

Deshalb musst Du, um den Wert des Terms nicht zu verändern, innerhalb der Klammer alles durch 2 dividieren: 

2 * (2 / 2 - (1/2)^k / 2)

= 2 * (1 - (1/2)^k * 1/2)

= 2 * (1 - 1/2 * (1/2)^k)

 

Das könnte man dann auch schreiben als

2 * (   1 - (1/2)^{k+1}   )

 

Besten Gruß

Answer 2

2*1/2 = 1

Daher 2*1/2 * (1/2)^k = (1/2) ^k

Potenzregeln

2*1/2 * (1/2)^k  = 2*1/2 * 1^k / 2^k = 2*1/2 * 1/2^k = 2*1/(2 *2^k)

Answer 3

Annahme das der Term so geschrieben wird, kann man den Term umformen