Komplexe Zahlen in die form z=a+ib

Question

Kann mir einer bitte bei der folgenden Aufgabe helfen,man soll die komplexen Zahlen in die Form z=a+ib bringen

a. ) z_1 = (i-1)^4+(-1-i)^4

b.) z_2 = 1+2i/3-4i + 2-i/5i

c.) z_3 = (2i/1-i)^9

Answer 1

$$  z_1 = (i-1)^4+(-1-i)^4 $$
Umwandeln in Polarform:
$$  (i-1)= \sqrt2 \cdot e^{ i \,\frac 34 \,\pi  }$$
$$  (-i-1)= \sqrt2 \cdot e^{ i \,-\frac 34 \,\pi  }$$
Potenzieren:
$$  \left( \sqrt2 \cdot e^{ i \,\frac 34 \,\pi  }\right)^4 = \left( \sqrt2\right)^4 \cdot  \left(  e^{ i \,\cdot 4\cdot \frac 34 \,\pi  }\right)^4 $$
$$  \left(\sqrt2 \cdot e^{ i \,-\frac 34 \,\pi  }\right)^4  = \left( \sqrt2\right)^4 \cdot  \left(  e^{- i \,\cdot 4\cdot \frac 34 \,\pi  }\right)^4 $$
usw.

Answer 2

Hi,

da hat es teils mit der Klammerrechnung nicht ganz gepasst.

Als Alternative zur anderen Antwort ohne Polarform

a. ) z₁ = (i-1)⁴+(-1-i)⁴ = ((i-1)²)² + ((-1-i)²)² = (i²-2i+1)² + (1 - 2i + i²)²

= (-2i)² + (-2i)² = -4 + (-4) = -8

b.) z₂ = 1+2i/3-4i + 2-i/5i

Sollte wohl heißen:

b.) z₂ = (1+2i)/(3-4i) + (2-i)/(5i)

Hier den ersten Term mit dritter binomischer Formel erweitern. Den zweiten mit 5i

$$\frac{(1+2i)(3+4i)}{25} - \frac{(2-i)\cdot5i}{25} = \frac{-5 + 10i -(10i-5i^2)}{25} = \frac{-10}{25} = -\frac25$$

c.) z₃ = (2i/1-i)⁹

Sollte wohl heißen:

c.) z₃ = (2i/(1-i))⁹

Nur den Klammerausdruck betrachtet:

2i/(1-i) * (1+i)/(1+i) = -1 + i

Führt auf

(-1+i)⁹ =  (-1+i)² * (-1+i)² * (-1+i)² * (-1+i)² *  (-1+i) = -2i * (-2i) * (-2i) * (-2i) * (-1+i)

= 16*(-1+i) = -16+16i

Grüße