Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung der Funktion f.

Question

Die ganzrationale Funktion dritten Grades beschreibt die Gesamtmenge an Sauerstoff, die von einer Pflanze im Zeitraum von 6 bis 20 Uhr produziert wird.

a) Um 6 Uhr betragen die Produktion 0 Liter und die Produktionsrate 0 Liter/Stunde. Um 14 Uhr wird mit 64 Liter/Stunde die höchste Produktionsrate erreicht.

Bestimmen sie eine Funktionsgleichung der Funktion f.

b) Wie viel Sauerstoff wird im Zeitraum von 6 bis 20 Uhr insgesamt produziert?

c) Berechnen Sie in welchen Zeiträumen die Produktionsrate unter 10 Liter/Stunde liegt.

Ich wäre wirlich sehr dankbar, wenn mir jemand auch "nur" die Ansätze mit denen ich die Aufgaben lösen kann, verrät. Ich hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen, da ich echt keine Ahnung habe, wie ich die Aufgabe bearbeiten soll. :(

Vielen Dank schonmal!

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Vom Duplikat:

Titel: Bestimmen sie eine Funktionsgleichung der Funktion f.3 Grad

Stichworte: funktionsgleichung

Aufgabe:

Die ganzrationale Funktion dritten Grades beschreibt die Gesamtmenge an Sauerstoff, die von einer Pflanze im Zeitraum von 6 bis 20 Uhr produziert wird.

a) Um 6 Uhr betragen die Produktion 0 Liter und die Produktionsrate 0 Liter/Stunde. Um 14 Uhr wird mit 64 Liter/Stunde die höchste Produktionsrate erreicht.

Bestimmen sie eine Funktionsgleichung der Funktion f.


b) Wie viel Sauerstoff wird im Zeitraum von 6 bis 20 Uhr insgesamt produziert?



c) Berechnen Sie in welchen Zeiträumen die Produktionsrate unter 10 Liter/Stunde liegt.

Answer 1

Ich kann erst mal nur eine kleine Hilfe geben. Eine ganzrationale (also ohne Brüche) Funktion 3. Grades lautet in Allgemeinform so:
ax^3 + bx^2 + cx + d
Bei 6 und bei 20 hast du eine Nullstelle.
Bei 14 ein Maximum mit 64,
also einen Punkt mit (14|64).

Daraus folgt jetzt f(6)=0. Daraus folgt(1) a*6^3 +b*6^2 +c*6 +d =0
und f(20)=0, also (2) a+20^3 +b*20^2 +c*20 +d=0.

Bei Maxima gilt 1.Ableitung=0.
fŽ(x) = 3ax^2+2bx+c=0
also fŽ(14)= 3a*14^2+28x+c=0 (3)
und f(14)=64
also f(14)=a*14^3+b+14^2+c*14+d=64. (4)
So nun alles ausrechnen, Potenzen vor Multiplikation!
Dann hast du ein lineares Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten.
Falls du es nicht lösen kannst, benutze einen Online-Rechner für Gleichungssysteme, eigentlich eine einfache Aufgabe, die es aber in sich hat.
Am Ende hast du Werte für a,b,c und d und somit die Funktionsgleichung!

Answer 2

f(x) = ax^3+bx^2+cx+d

f(0) = 0

f '(0) = 0

f '(8)= 64

f ''(8) = 0