Bestimmen Sie die zugehörige Funktionsgleichung

Question

Aufgabe:

Eine zur y-Achse achsensymmetrische Funktion 4.Grades berührt im Koordinatensystem die x-Achse. Die Wendetangente an der Stelle x= -1 ist parallel zur Geraden mit der Gleichung y= -8x + 1

Bestimmen Sie die zugehörige Funktionsgleichung

Ansatz:

1) Ableitungen bilden:

f(x)= ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

f (x)= 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d

f"(x)= 12x^2 + 6bx +2c

f"(x)= 24ax + 6b

2) Bedingungen aufstellen:

I. f (0)=0

II. f"(-1)=0


III. f (-1)= -8

IV. f(-1)=9

V. f(0)=0

3) Lineares Gleichungssystem:

I. d = 0

II. 12a - 6b+ 2c =0

III. -4a + 3b - 2c +d =-8

IV. a - b + c - d + e = 9

V. e = 0

Alsoooo, ich habe diese Steckbriefaufgabe. Ich bin mir aber nicht sicher ob die Bedingungen richtig aufgestellt sind oder nicht.

Comments

Hallo,

aus der Symmetrie folgt, dass nur gerade Exponenten vorkommen, also

f(x)=ax^4+cx²+e

Mit e=0 brauchst du nun nur noch zwei Bedingungen.

f'(-1)=-8

f''(-1)=0

Damit müsste es gehen.

:-)

Zu deinen Bedingungen:

I. f (0)=0 ist richtig

II. f"(-1)=0

III. f(-1)= -8 ist falsch. Die erste Ableitung ist -8.

IV. f(-1)=9 Ist auch falsch, über f(-1) weiß man nichts.

V. f(0)=0 ist schon I.

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aber muss ich nicht die erste Ableitung also f"(0) = 0 auch als Bedingung notieren, weil es den Koordinatenusprung berührt.

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f'(0)=0 bewirkt, dass d=0 ist. Das ergibt sich aber auch schon durch die Symmetrie.

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... berührt im Koordinatensystem die x-Achse

dort steht nur, dass die X-Achse berührt wird, aber nicht wo. Folglich wäre auch noch eine zweite Lösung möglich:

$$f(x)=-x^{4}+6x^{2}-9$$

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Danke, wunderte mich schon, dass hier so viele die Aufgabenstellung nicht richtig lesen. Ja, das ist die andere Lösung. Und da gibt es dann auch nicht zuviele Gleichungen, wie hier so viele behaupten.

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Ich habe

... berührt im Koordinatensystem die x-Achse

als
... berührt im Koordinatenursprung die x-Achse
interpretiert, so wie Samira es auch in mehreren Kommentaren geschrieben hat.

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Ja, da gibt es aber nichts zu interpretieren und als Helfer ist es ja unser Job kritisch mitzudenken. Es kann auch sein, dass Samira die Aufgabe falsch abgeschrieben hat. Kann sein, oder auch nicht.

Answer 1

Achsensymmetrisch bedeutet

b = d = 0

Dann kommen deine Bedingungen

f(0) = 0 --> e = 0
f''(-1) = 0 --> 12a + 2c = 0
f'(-1) = -8 --> -4a - 2c = -8

Löse ich das Gleichungssystem erhalte ich folgende Funktion

f(x) = -x^4 + 6·x^2

Comments

aber muss ich nicht die erste Ableitung also f"(0) = 0 auch als Bedingung notieren, weil es den Koordinatenusprung berührt.

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Diese Bedingung ist bei einer achsensymmetrischen Polynom eh gegeben

f(x) = ax^4 + cx^2 + e

f'(x) = 4ax^3 + 2cx

f'(0) = 4a·0^3 + 2c·0 = 0

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ahaa ja stimmt!!

Answer 2

Aloha :)

Die Bedingung \(f(-1)=9\) passt nicht. Bei \(x=-1\) soll die Steigung der Funktion dieselbe sein wie die Steiung der Geraden \(y=-8x+1\), das heißt \(f'(-1)=-8\).

Du hast die Symmetrie zur \(y\)-Achse nicht berücksichtigt. Die Funktion ist ein Polynom vom Grad \(4\), hat also die Form:$$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$Bei Symmetrie zur y-Achse fallen alle ungeraden Potenzen von \(x\) weg:$$f(x)=ax^4+\cancel{bx^3}+cx^2+\cancel{dx}+e$$

Du hast also 3 Unbekannte \((a,c,e)\) und auch 3 Bedinungen:$$f(0)=0\quad;\quad f'(-1)=-8\quad;\quad f''(-1)=0$$

Kommst du damit nun weiter?

Comments

aber muss ich nicht die erste Ableitung also f"(0) = 0 auch als Bedingung notieren, weil es den Koordinatenusprung berührt.

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Ja, die Bedingung kannst du auch noch dazu nehmen. Aber du hast ja nur 3 Unbekannte, sodass 3 Bedingungen ausreichen.

Answer 3

f(x) = ax^4+bx^2+c

f(0)= 0

f '(0) = 0 (berühren = gleiche Steigung wie die x-Achse, m= 0)

f ''(-1) = 0 (Wendepunkt)

f'(1) = -8

Das System ist überbestimmt.

Comments

Manchmal frag ich mich ja, warum Du die Worte der Vorredner jeden Morgen wiederholst. Aber dann merkt man, dass Du diese gar nicht zu lesen scheinst und ich bin wieder beruhigt.

Wie oben steht, ist f'(0) = 0 mit der Symmetrie abgeklärt. Wenn das also zu Deiner Argumentation führt, dass das System überbestimmt ist, dann ist das nicht valide.

Morgendliche Grüßle

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Manchmal frag ich mich ja, warum Du die Worte der Vorredner jeden Morgen wiederholst.

Von formaler Überbestimmung lese ich nichts. Ich halte das für wichtig.

Das könnte ein andernmal vlt. wichtig sein.

Zudem habe ich es in einer anderen, übersichtlichen, kompakten Form dargestellt

unter Auswertung aller möglichen Daten.

Warum regst du dich über etwas auf, was andere auch ständig tun?

Wie oft werden Ergebnis von Vorrednern wiederholt oder anders dargestellt!

Und wem schadet es?

Wie oben steht, ist f'(0) = 0 mit der Symmetrie abgeklärt.

Ob das dem TS bewusst ist?

Und den Fehler hier habe ich auch richtig gestellt:

III. f (-1)= -8

Manchmal frag ich mich ja, warum Du die Worte der Vorredner jeden Morgen wiederholst.

Diese Pauschaulisierung ist falsch und sind leicht polemisch bzw.

zeugen von Antipathie, die dir zusteht, die du aber nicht wiederholen musst.

Du willst mich loswerden, in diesem Fall klingt das nach Rausekeln.

Wenn es dir Freude macht, mach weiter so.

Ich verkrafte das irgendwie.

Das "jeden Tag" nehme ich dir allerdings übel, weil es eine Lüge ist.

Ich weiß nun allerdings eindeutig, wie ich dich einzuordnen habe und auf welcher Seite  du stehst. Dein gutes Recht, v.a. wenn es dir guttut.

Ich will hier auch keine Freundschaften schließen, sondern nur helfen.

Wenn du das anders siehst, ist das dein Problem.

Anscheinend will mir immer einer den Tag verderben. Heute bist du wohl an der Reihe.

Das ist dir hiermit gelungen.

dann ist das nicht valide.

Was soll das hier bedeuten?

valide = gültig

Es trifft doch, was ich sage:

Von 4 Gleichungen ist eine überflüssig.

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Meine Güte, Du scheinst ja das direkt in den falschen Hals bekommen zu haben. Das war nur laut und verwundert gedacht. Sry, wenn das dann eben in den falschen Hals ist.

Zu den sachlichen Punkten:

f'(0) = 0: Siehe MontyPythons Kommentar bei der Frage

oder Mathecoachs Kommentar bei seiner Antwort.

f(-1) = -8: Das steht in fast jedem zu lesenden Beitrag

Und ja, bei 4 Gleichungen ist eine überflüssig, wenn man nur drei Parameter hat. Der Fehler liegt aber schon davor überhaupt 4 Gleichungen aufzustellen.

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Und ja, bei 4 Gleichungen ist eine überflüssig, wenn man nur drei Parameter hat. Der Fehler liegt aber schon davor überhaupt 4 Gleichungen aufzustellen.

Schüler sind es gewohnt, alle aufzustellen = jede Info zu erkennen.

Den Fehler werden dann wohl viele machen, die anderes gewohnt sind.

Was hier nicht wichtig ist, kann es anderswo sein.

f(-1) = -8: Das steht in fast jedem zu lesenden Beitrag

a) Das ist falsch.

b) Es muss f '(-1) = -8 lauten. Hier hast nicht genau gelesen.

Also habe ich das zu Recht richtiggestellt.

,

Du scheinst ja das direkt in den falschen Hals bekommen zu haben. Das war nur laut und verwundert gedacht.

Was man denkt, muss man nicht niederschreiben. v.a. wenn es Polemik enthält

und falsche, kränkende Pauschalisierungen.

Ich kann es nur als Ausdruck von Antipathie deuten oder den Versuch,

mich bloßzustellen ohne echten, sachlichen Grund.

Mehrfach-Antwort sind hier gang und gäbe und oft von großem Nutzen.

Im Übrigen kennst du sicher diesen Spruch:

"Schweigen und denken kann niemanden kränken"

Nu wenn man sich wehren muss, kann man davon abweichen.

Und ich musste mich zuletzt oft wehren.

Jetzt, wo ein wenig Ruhe eingekehrt wäre, kommst du mit sowas daher, als

ob es dir zu friedlich zuginge.

Du hättest auch anders kommentieren können.

Meine Motive kennst du nun und so verwerflich sind sie nicht, wie

du sie darstellen möchtest.

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Ja, ich kann auch ausholen, wenn Dir so viel dran liegt!

f'(-1) = -8 (oder von Dir im gelben Kasten mit f(-1) = -8 zitiert und von mir nur wiederholt im Sinne von: Ich beziehe mich da drauf) steht in fast jedem Beitrag. Vllt schafft es der Herr seine Augen zu öffnen und sich umzuschauen. Dann müsste besagte Herr nicht so rumgiften.

Für meine Wortwahl hatte ich mich schon entschuldigt. Auf einen Kniefall wartet besagter Herr vergebens. Bei so viel Stunk steht mir nicht der Sinn danach!

Nur weil es "viele" machen, heißt das noch lange nicht, dass man Dich hier nicht berichtigen darf! Vllt weißt Du es dann beim nächsten Mal besser, bzw schaust Dir einfach die anderen Kommentare an. Immerhin ist Deine Antwort viele Stunden später eingetroffen!

"Verwerfliche Motive" wurden Dir übrigens nirgendswo unterstellt. Vllt wird es mal an der Zeit, dass Du nicht überall nach Schlägen ausschau hältst, sondern einfach mal liest was dran steht und eventuell mal annimmst, dass der Gegenüber es allenfalls kritisch, aber keinesfalls negativ meint? Hilft Deinen Nerven und gerade auch meinen!

Und ja, Du hast gerade wieder einige Antipathie-Punkte gesammelt. Glückwunsch!

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Bei einem Schüler, der Hilfe benötigt, nicht sofort vorauszusetzen, dass er erkennt, auf welche der folgenden Bedingungen

a. bei einer y-Achsen-symmetrischen Funktion hat die vierte Ableitung an der Stelle 0 den Wert 0
b. bei einer 0-Punkt-symmetrischen Funktion hat die dritte Ableitung an der Stelle 0 den Wert 2
c. bei einer y-achsen-symmetrischen Funktion hat die zweite Ableitung an der Stelle 0 den Wert 0
d. bei einer y-achsen-symmetrischen Funktion hat die sechste Ableitung an der Stelle 0 den Wert 1
e. bei einer 0-Punkt-symmetrischen Funktion hat die vierte Ableitung an der Stelle 0 den Wert -1
f. bei einer ...

man verzichten kann, ist überhaupt nicht verwerflich.

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Hallo ggT,

du schreibst

f'(1) = -8

Richtig ist
f'(-1) = -8

Wegen der Symmetrie gilt
f'(1) = +8

Du erhältst übrigens nur zu viele Gleichungen, da du im Ansatz richtig voraussetzt, dass nur gerade Expponnten vorkommen. Dadurch gilt bei ganzrationalen Funktionen automatisch f'(0)=0.

Mit dem Ansatz

f(x)=ax^4+bx³+cx²+dx+e

liefert f'(0)=0, dass d=0 ist.

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Es gibt nur zu viele Gleichungen, wenn man die Aufgabenstellung nicht richtig liest. Siehe Lösung von werner salomon oben.

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Für meine Wortwahl hatte ich mich schon entschuldigt. Auf einen Kniefall wartet besagter Herr vergebens

Ich will keinen Kniefall, sondern Verständnis für meinen Beitrag. Mehr nicht.

Und dasselbe Recht wie andere: Meine Antwortform ergänzen zu dürfen,

auch wenn sie nicht notwendig ist, aber Diskussionsstoff enthielte.

Du hast gerade wieder einige Antipathie-Punkte gesammelt

Das scheint dir gut zu tun. Jeder braucht wohl seinen Buhmann zum Abreagieren.

"Verwerfliche Motive" wurden Dir übrigens nirgendswo unterstellt

Das habe ich aus deiner vorwurfsvollen Antwort geschlossen und

der nicht belegbaren, verletzenden Pauschalisierung "jeden Tag".

Zudem benutze ich meine eigenen Worte, auch in meiner Antwort.

Oft hilft auch eine andere Darstellungsform, weil viele Weg nach Rom führen.

Doch besser, wir machen an dieser Stelle Schluss.

Fakt ist: Moderatoren messen hier mit zweierlei Maß.

Quod licet Iovi/deis (den Mathegöttern), non licet bovi/bobus (Mathe-Laien).

Du hast das mit deinem Beitrag nachdrücklich bestätigt.

Wegen der Symmetrie gilt
f'(1) = +8

Der Fehler war, dass nicht f '(-1) stand, sondern f(-1).

Ihr seid doch sonst auch immer (zu Recht) sehr pingelig.