Beweis ∑k=1 bis n 1/(k*(k+1) = n/(n+1)

Question

Beweisen Sie, dass für alle n ∈ ℕ gilt: ∑_k=1ⁿ 1/(k*(k+1) = n/(n+1).

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beweisen Sie die folgenden Aussagen durch vollständige Induktion: c) Summe ((1/(k(k+1)) = n/(n+1)

Stichworte: aussagen,durch,vollständige,induktion,summenzeichen,teleskopsumme

Beweisen Sie die folgenden Aussagen durch vollständige Induktion

Beweisen Sie die folgenden Aussagen durch vollständige Induktion: c) Summe ((1/(k(k+1)) = n/(n+1)

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EDIT: Bitte Frage nicht nur als Bild einstellen. Ausserdem EINE Frage / Frage und ... https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Ein Dank für eine Antwort ist auch nicht verkehrt.

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Vom Duplikat:

Titel: vollständige Induktion ( Induktionsschritt)

Stichworte: vollständige,induktion

ich übe gerade die vollständige Induktion und hänge etwas. 

Die Voraussetzung lautet  n∑k=1 1/k(k+1)= n/n+1

So beim Induktionsschritt habe ich bis n/n+1 + 1/n+1*(n+1+1) = n+1/n+1+1 vereinfach, weiß aber nicht wie ich die Gleichheit beweise.

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So was nennt man Teleskopsumme. 

Sollst du wirklich einen Induktionsbeweis machen ? 

Bsp. https://www.mathelounge.de/91337/teleskopsumme-1-i-1-i-ohne-taschenrechner Du hast aber noch Klammern vergessen, wenn diese Summe gemeint ist. https://www.mathelounge.de/tag/teleskopsumme

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,,Beweisen Sie mittels volständiger Induktion: Für alle n∈ℕ* gilt ∑(von k=1 bis n) 1/k(k+1) = n/n+1"

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Immer noch: Du musst mehr Klammern setzen. 

Ich leite die Frage um zur bereits vorhandenen. Du bist im Prinzip fertig mit deinem Induktiosschritt. Vgl. dort. https://www.mathelounge.de/499250/beweisen-folgenden-aussagen-durch-vollstandige-induktion und https://www.mathelounge.de/391506/beweis-k-1-bis-n-1-k-k-1-n-n-1

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ok ich merke, dass mein Problem viel mehr bei der Unformung liegt. 

Ich sehe nicht wie man aus n/(n+1) + 1/((n+1)(n+2)) = (n+1)/(n+2) macht. Welche Umformungsschritte macht man. Tut mir Leid sehe es echt nicht...

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wue bekomme ich die beiden linken Brüche auf einen Nenner, sodass ich sie acddieren kann ?

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Schau dir mal die Antworten an und male schöne Bruchstriche auf dein Blatt. Das steht schon alles da (unten). 

2/3  + 5/7 

= (2*7 + 5*3)/(3*7) 

ist dir bekannt? 

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Ich glaube das war der Knackpunkt, ich wusste nicht wie man Brüche mit ungleichemuUngleic Nenner addiert. Also müsste ich jetzt folgendes ausmultiplizieren und vereinfachen :

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Hier könntest du noch mit (n+1) kürzen. Es geht einfacher: 

Du brauchst eigentlich bloss

2/3  + 5/(3*7) = (2*7 + 5)/(3*7) 

Aber du hast schon mal das Prinzip der Bruchaddition begriffen. 

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Man wählt in der Regel den kleinsten gemeinsamen Nenner. 

Dann Zähler "ausmultiplizieren und vereinfachen"  sollte klappen. 

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Hi, ich schon wieder...

Warum genau darf man jetzt das "*3" denn jetzt weglassen? Ich habe aber trz mal einfach weiter gerechnet und das richtige Ergebnus raus. Wenn du mir nur noch diese eine Frage beamtworten könntest, habe ich es verstanden. 

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2/3  + 5/(3*7) 

= (2*7)/(3*7) + 5/(3*7)

= 14/21 + 5/21 

= 19/21

= (14 + 5)/21

= (2*7 + 5)/(3*7)

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sry habe habe gestern vergessen es zu sagen. VIELEN LIEBEN DANK !!!

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Bitte. Gern geschehen! 

Answer 1

Hi,

∑_k=1ⁿ 1/(k*(k+1)) = n/(n+1)

Für n = 1

1/(1*(1+1)) = 1/(1+1)

Passt also:

∑_k=1ⁿ⁺¹ 1/(k*(k+1))

= ∑_k=1ⁿ 1/(k*(k+1)) + 1/((n+1)*((n+1)+1))   |mit Induktionsvoraussetzung

= n/(n+1) + 1/((n+1)*((n+1)+1))

= (n+1)/(n+2) = (n+1)/((n+1)+1)

Genau was wir haben wollen.

Grüße

Answer 2

Zu c) Addition des nächsten Summanden 

n/(n+1)+1/[(n+1)(n+2)]

= (n(n+2)+1)/[(n+1)(n+2)]

= (n²+2n+1)/[(n+1)(n+2)] 

= (n+1)²/[(n+1)(n+2)] 

= (n+1)/(n+2) und das ist genau das Gleiche, wie wenn man n durch n+1 ersetzt.

Comments

und die andere kannst du nicht lösen?

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Vielleich versuchst du es jetzt selbst einmal. Ein Muster habe ich dir gegeben.