Grenzwertbestimmung mit Winkelfunktion (Sandwich)

Question

Ich soll hier Grenzwerte durch Eigenschaften der Winkelfunktion bestimmen mit der Anmerkung, dass Sandwich hilfreich sein könnte.


Könnt ihr mir helfen?
lg !!

Answer 1

Bei x->1 kannst du einfach 1 einsetzen.

Der Grenzwert ist sin(1) / 1 = sin(1)         . Taschenrechner auf Bogenmass umschalten.

Bei den andern beiden kannst du benutzen, dass |sin(x)| ≤ 1 für alle x Element R.

Darum betragsmässig Abschätzen mit ³√(x) bzw. 1/|x| .

Beide haben den Grenzwert 0.

Comments

Naja nachdem ich bei 3) die Radianten eingestellt habe,
komme ich (mit gr Zahlen) bei 1/|x| auf etwas sehr kleines ...zB 0,0000003 , aber bei der Multiplikation von sin(x) kommt mit großen Zahlen zB entweder -0,37 oder 0,45 heraus.

Dürfte egal sein ob ich eine pos oder negative Zahl mit einer extrem kleinen multipliziere.
Sehe ich das richtig?

Bei (1) verhält es sich bei sin(1/x) ähnlich wie vorhin. Entweder ganz kleine neg Zahlen oder kleine pos. Zahlen


Das Ergebnis lautet bei den beiden anderen also einfach 0 ?

Was war jetzt hier das Sandwich?

lg !

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überall limes x-> 0.

lim | ³√(x) * sin(1/x) | ≤  lim | ³√(x) | = 0 

==>

lim ( ³√(x) * sin(1/x) ) = 0 

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hmmm... bei 2) komme ich mit 0,999 und 0,999"9" auf immer kleinere Werte.
Sollte gegen 0 gehen ....

Ich danke dir. Wobei ich das mit "Sandwich" immer noch nicht checke bzw. eher glaube, dass diese Regel sowieso logisch scheint.

Danke Lu !

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Bei (2) brauchst du kein Sandwich:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin(1)

kommt raus.

lim | ³√(x) * sin(1/x) | ≤  lim | ³√(x) | = 0  

Sandwich: Blau ist zwischen rot und grün eingeklemmt.

~plot~ x^{1/3} * sin(1/x); x^{1/3} ; -x^{1/3} ~plot~

Leider macht dieser Plotter links von 0 nicht weiter.

Wenn ihr die 3. Wurzel aus neg. Zahlen auch definiert habt, kannst du dir mit den Graphen hier behelfen. (Immer nur den Realteil (blau) ansehen). 

x^{1/3} * sin(1/x) https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E(1%2F3)+*+sin(1%2Fx)

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Danke, das macht es verständlicher !