Wellengleichung (Schrödingergleichung)

Question

Hi alle zusammen,

es geht um folgende Aufgabe:

$$ φ(x,t) = ψ(x)cos(ωt) $$ sei eine Lösung der Wellengleichung $$ \frac { ∂^2φ }{ ∂t^2 }=c^2\frac { ∂^2φ }{ ∂x^2 } $$ Nun soll ich $$ ψ(x) $$ berechnen. Wie gehe ich hier vor?

Ich bedanke mich schon einmal im Voraus.

Gruß

Comments

Na einfach Phi einsetzen und ausrechnen.

Answer 1

Hi, setzte \( \varphi(x,t) \) in die Schrödingergleichung ein, dann bekommst Du eine gewöhnliche lineare Dgl. 2-ter Ordnung für \( \psi(x) \), die man normal lösen kann. Es gilt

$$ \varphi_{tt}(x,t) = -\omega^2 \psi(x) \cos(\omega t) $$

$$ \varphi_{xx}(x,t) = \psi''(x) \cos(\omega t)  $$ Aus

$$ \varphi_{tt}(x,t) = c^2 \varphi_{xx}(x,t)  $$ folgt dann

$$  \psi''(x) + \frac{\omega^2}{c^2} \psi(x) = 0 $$ mit der Lösung

$$ \psi(x) = A e^{i \frac{\omega}{c} \cdot x} + B e^{-i \frac{\omega}{c} \cdot x} $$