Question

Zeigen Sie, dass sowohl die Wellenfunktion Φ1 als auch Φ₂ Lösungen der allgemeinen Wellengleichung sind.

Φ₁(x,t) = cos(wt - kx)              Φ₂(x,t) = e^{i(kx - wt)}

Wellengleichung:

$$ \frac { { d }^{ 2 }\phi  }{ { dx }^{ 2 } } =\frac { { k }^{ 2 }{ d }^{ 2 }\phi  }{ { w }^{ 2 }{ dt }^{ 2 } }  $$

Comments

Um das zu zeigen, musst du die beiden Funktionen jeweils links und rechts der Wellengleichung einsetzen. D.h. du musst beide 2 Mal nach x und zwei Mal nach t ableiten.

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e^{i(kx - wt)} = cos(wt - kx)              

wäre das ein richtiger Ansatzt?

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Nein nicht gleichsetzen! Beide einzeln 2 mal ableiten und einzeln in die Behauptung einsetzen.

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Wenn ich zum Beispiel cos(wt - kx)  zwei mal nach x ableite kommt Φ₁''(x,t) = -k²*cos(wt - kx) raus. Müsste ich das dann einfach mit der Wellengleichung gleich setzen?

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Gut! Das ist aber formal nicht Φ₁''(x,t) = -k²*cos(wt - kx) 

sondern d^2 Φ₁''(x,t) / dx^2 = -k^2 * cos(wt - kx)

Jetzt noch dieselbe Ausgangsfunktion 2 mal nach t ableiten.

und das rechts statt d^2 Φ₁''(x,t) / dt^2 einsetzen. 

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Heißt dass?:

 dx² = -k² * cos(wt - kx)  = Φ₁''(x) ∧  d² Φ₁ = -w² *cos(wt - kx) = Φ₁''(t)  =>

(-w² *cos(wt - kx))/(-k² * cos(wt - kx)) = d²Φ/dt²  =>

(cos(wt - kx))/(cos(wt - kx)) = k²d²Φ/w²dt²

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Gerade nach dx^2 ... solltest du nicht auflösen. Das dx^2 ist ja nur dazu da, dir anzuzeigen, dass nach x abgeleitet wurde. Einfach d^2 Φ / dt^2 und d^2 Φ / dt^2 als Terme zusammenlassen resp. ersetzen.

Answer 1

Gut! Das ist aber formal nicht Φ₁''(x,t) = -k²*cos(wt - kx) 

sondern d² Φ₁''(x,t) / dx² = -k² * cos(wt - kx)

Jetzt noch dieselbe Ausgangsfunktion 2 mal nach t ableiten.

 d² Φ₁''(x,t) / dt² = -w^2 * cos(wt - kx)

Nun einsetzen

 -k² * cos(wt - kx) = ? = (k^2/w^2) * (-w^2) cos(wt - kx)

Stimmt, da man rechts w^2 rauskürzen kann. qed.

Nun dasselbe noch für Φ2 durchrechnen.

Comments

Heißt dass?:

 dx² = -k² * cos(wt - kx)  = Φ₁''(x) ∧  d² Φ₁ = -w² *cos(wt - kx) = Φ₁''(t)  =>

(-w² *cos(wt - kx))/(-k² * cos(wt - kx)) = d²Φ/dt²  =>

(cos(wt - kx))/(cos(wt - kx)) = k²d²Φ/w²dt²


dass ließe sich nämlich so auflösen.

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Vgl Kommentar oben.

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Entschuldigung, die Wellengleichung lautet eigentlich:

$$ \frac { { d }^{ 2 }\phi  }{ { dx }^{ 2 } } =\frac { { k }^{ 2 } }{ { w }^{ 2 } } \frac { { d }^{ 2 }\phi  }{ { dt }^{ 2 } }   $$

macht das ein Unterschied?

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Das habe ich genau so eingesetzt. Zitat:

 -k² * cos(wt - kx) = ? = (k²/w²) * (-w²) cos(wt - kx)

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Ok, hatte mich verlesen. Vielen vielen Dank.