Aufgabe:
Zeigen Sie, dass die Wellengleichung bei der „Lorentztransformation“
\( (x, t) \rightarrow\left(x^{\prime}=\gamma x+v \gamma t, t^{\prime}=\gamma t+\frac{v \gamma x}{c^{2}}\right) \text { mit } \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}} \)
in ein Bezugssystem, das sich gegenüber dem ursprünglichen System mit konstanter Geschwindigkeit \( -v \) bewegt, forminvariant ist. Das heißt:
\( \left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) u(x, t)=0 \Rightarrow\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{\prime 2}}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{\prime 2}}\right) u\left(x^{\prime}, t^{\prime}\right)=0 \)
Hinweis: Berechnen Sie hierzu \( \left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) u\left(x^{\prime} \pm c t^{\prime}\right) \).
Frage:
Guten Tag,
Ich habe zu dieser Aufgabe einen Ansatz geschrieben, aber war mir nicht sicher, ob der richtig ist.
kann mir jemand sagen, ob meine Lösung richtig ist oder ich etwas falsch gemacht habe?!
Ein Lösungsweg wäre hilfreich, wenn sie falsch ist.
Danke im Voraus.
Mein Ansatz:
\( \begin{aligned} & \left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) u\left(x^{\prime} \pm c t^{\prime}\right) \\ = & \left(\frac{\partial}{\partial x} \pm c \frac{\partial}{\partial t}\right)\left[\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{\prime} \pm c t^{\prime}\right) \pm c \frac{\partial}{\partial t}\left(x^{\prime} \pm c t^{\prime}\right)\right] \\ = & \left(\frac{\partial}{\partial x} \pm c \frac{\partial}{\partial t}\right)\left[\gamma\left(1 \pm \frac{v}{c}\right)\right] \\ = & \left(\frac{\partial}{\partial x} \pm c \frac{\partial}{\partial t}\right)\left(\gamma \pm \gamma \frac{v}{c}\right) \\ = & \gamma\left(\frac{\partial}{\partial x} \pm c \frac{\partial}{\partial t}\right)\left(1 \pm \frac{v}{c}\right) \end{aligned} \)
die Kettenregel verwenden:
\( \begin{array}{r} =\gamma\left[\left(1 \pm \frac{v}{c}\right) \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} u \pm c \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} u\right] \\ =\gamma\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) u\left(x^{\prime} \pm c t^{\prime}\right) \end{array} \)
Die letzte Gleichheit ergibt sich aus der Wellengleichung \( \left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) u(x, t)=0 \). Daher ist die transformierte Wellengleichung ebenfalls form-invariant.
