Aufgabe:
Sei \( u(t, x) \) eine \( \mathcal{C}^{2} \)-Lösung zur in der Vorlesung behandelten 1-dimensionalen Wellengleichung \( (c=1) \)
\( \left\{\begin{aligned} u_{t t}-u_{x x} &=0 \\ u &=g \text { auf } \mathbb{R} \times\{t=0\} \\ u_{t} &=h \text { auf } \mathbb{R} \times\{t=0\} \end{aligned}\right. \)
Hierbei seien die Anfangsdaten \( g, h \in \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}) \) kompakt getragen.
Definiere die potentielle Energie \( U(t) \) und die kinetische Energie \( V(t) \) durch
\( \begin{aligned} U(t) &:=\frac{1}{2} \int \limits_{\mathbb{R}}\left|u_{x}(x, t)\right|^{2} d x \\ V(t) &:=\frac{1}{2} \int \limits_{\mathbb{R}}\left|u_{t}(x, t)\right|^{2} d x \end{aligned} \)
Begründen Sie, dass \( U \) und \( V \) für jedes \( t \) wohldefiniert sind und zeigen Sie, dass \( U+V \) konstant ist. Nutzen Sie ferner die explizite Lösungsformel, um zu beweisen, dass eine Konstante \( T \) existiert, so dass \( U(t)=V(t) \) für \( t>T \) gilt.
Habt ihr Tipps wie ich die Aufgabe lösen kann?
