Gilt dann stets: U_(2) ≤ U_(1) - U_(2)? (K-Untervektorräume)

Question

Aufgabe:

Es seien ein Körper \( K \), ein \( K \)-Vektorraum \( V \) gegeben. Für \( K \)-Untervektorräume \( U_{1} \) und \( U_{2} \) von \( V \) setzen wir

\( \begin{aligned} U_{1}+U_{2} &:=\left\{u_{1}+u_{2} \mid u_{1} \in U_{1}, u_{2} \in U_{2}\right\} \\ U_{1}-U_{2} &:=\left\{u_{1}-u_{2} \mid u_{1} \in U_{1}, u_{2} \in U_{2}\right\} \end{aligned} \)

Nun seien K-Untervektorräume U_(1) und U_(2) von V gegeben.

Gilt dann stets: U_(2) ≤ U_(1) - U_(2)?

Answer 1

stets: U₂ <= U₁ - U₂    soll das heißen U2 ist Unterraum von  U₁ - U₂   ????

Das ist aber sicherlich wahr, denn sei x aus U₂   dann ist auch  -u aus U₂   da  U₂   ein Unterraum ist.

Und da jedenfalls 0 aus U1 ist, ist 0 - (-u) aus U₁ - U₂   also u aus  U₁ - U₂  

Außerdem ist doch aus dem gleichen Grund ( -u aus U₂ ) ist  U₁ - U₂  =  U₁ + U₂