Supremum von Summe. Zeige: sup(A+B) = sup(A) + sup(B)

Question

Hilfe !! 

Wir brauchen Eure Hilfe !!!

Beweis:

sup(A+B) = sup(A) + sup(B)

Comments

Was sollen den A und B sein?

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Ich tippe mal  A, B sind Teilmengen von IR und es ist

definiert 

A+B =   {  x ∈ IR  |    ∃ a∈A    ∃ b∈B   x = a+b }

Dann ist es ja nicht mehr wild.

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Kann, muss aber nicht sein? Warten wir mal ab was der geneigte Frager dazu meint.

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Ja genau!! 

A und B sind Teilmengen von R nichtleer und nach oben beschränkt.

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Könntet Ihr uns dafür einmal den Beweis zeigen?

Answer 1

Hi,

Du musst zwei Dinge zeigen.

1. Nimm ein x ∈ A+B und es sei x = a+b, mit a∈A und b∈B, dann gilt a≤sup(A) und b≤sup(B), welches ja die kleinsten oberen Schranken sind.

Damit gilt aber auch x=a+b ≤ sup(A) + sup(B), was damit eine obere Schranke für A+B ist.

2. Müssen noch zeigen, dass das auch die kleinste obere Schranke ist.

Nehmen wir ein c > 0, dann gibt es ein a, sodass sup(A) - c/2 < a, sowie ein b, sodass sup(B) - c/2 < b

Also:

sup(A)+sup(B)-c < a+b

sup(A)+sup(B) < a+b+c

Nun nehmen wir noch ein k also obere Schranke von A+B, sodass a+b≤k.

Oben eingesetzt:

sup(A)+sup(B) < k+c

sup(A)+sup(B) ≤ k

und damit:

sup(A) + sup(B) ≤ sup(A+B),

also genau was wir haben wollten.

Grüße