Grenzwerte von Reihen. Summe (1/((3n-2)*(3n+1))

Question

$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ (3n-2)(3n+1) }  } $$ 

ich bin dann auf $$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ 3 } (\frac { 1 }{ (3n-2) }  } -\frac { 1 }{ (3n+1) } )$$ 

gekommen und habe mir die ersten Teile aufgeschrieben also:

$$ \frac { 1 }{ 3 } (\frac { 1 }{ 1 } -\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 7 } +\frac { 1 }{ 7 } ...)$$

da sich die Terme aufheben dachte ich $$ \frac { 1 }{ 3 } \ast \frac { 1 }{ 1 } =\frac { 1 }{ 3 } $$ ist richtig aber die letzte negative Stelle kann sich ja eigentlich nicht aufheben.

Wie komm ich da dann auf den Grenzwert?

Dankschön

Answer 1

" Dachte 1/3 ist richtig aber die letzte negative Stelle kann sich ja eigentlich nicht aufheben.

Wie komm ich da dann auf den Grenzwert? "

Im Grenzwert ist 1/3 exakt richtig. Grund: Die Folge (1 /(3n+1))_(nElementN) ist eine Nullfolge. 

Also du hast erst mal 1/3( 1 + 1/(3k+3)) , wenn du von n=0 bis k summierst (k Element N grösser als sagen wir 2) 

Nun machst du limes_(k gegen unendlich) 1/3( 1 + 1/(3k+3))  = 1/3( 1 + 0)  = 1/3 . 

EDIT: So was nennt man übrigens Teleskopsumme. Ich habe oben diesen Tag ergänzt. 

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Vielen Dank für die schnelle Antwort :)