Vollständige Induktion: ∑ k*x^k = (1-(n+1)x^n + nx^{n+1}) / (1-x)^2

Question

Hilfe gesucht, komme am Ende nicht weiter.

∑ k*x^k = (1-(n+1)x^n + nx^{n+1}) / (1-x)^2 

Ich brauche am Ende Hilfe beim induktionsschritt bzw. meine Lösung ist denke ich falsch da ich am Ende zahlen links und rechts einsetze und es kommt nicht das gleiche raus :(   

Comments

Darfst du nicht Integration und Summenzeichen vertauschen und und zum Schluss die Sache wieder rückwärts machen?

Answer 1

an der Stelle, wo du beide Brüche zu einem gemacht hast, ist der Zähler

(nur der ist ja interessant ) richtig:

1 - (n+1)xⁿ + nxⁿ⁺¹ + (n+1) xⁿ (1-x)²

ich glaube, dann wird es einfacher, wenn erst die Klammer (x-1)² aufgelöst wird

1 - (n+1)xⁿ + nxⁿ⁺¹ + (n+1) xⁿ (1-2x) + x² )    und dann

= 1 - (n+1)xⁿ + nxⁿ⁺¹ + (n+1) xⁿ   -2x(n+1) xⁿ   + (n+1) xⁿ  x² 

=  1 + nxⁿ⁺¹ -2x(n+1) xⁿ   + (n+1) xⁿ  x²

=   1 + nxⁿ⁺¹ -2(n+1) xⁿ⁺¹   + (n+1) xⁿ⁺² 

=    1 + nxⁿ⁺¹ -2n xⁿ⁺¹    - 2 xⁿ⁺¹    + (n+1) xⁿ⁺² 


=    1 -n xⁿ⁺¹    - 2 xⁿ⁺¹    + (n+1) xⁿ⁺² 

=    1 -(n+2) xⁿ⁺¹     + (n+1) xⁿ⁺² 

Dann passt es.