Vollständige Induktion, Summenzeichen (1/2^k) = 2 - 1/2^n

Question

Beweise mit vollständiger Induktion:

f.a. \( \mathrm { n } \in \mathrm { N } _ { 0 } \) gilt \( \sum _ { \mathrm { k } = 0 } ^ { \mathrm { n } } \frac { 1 } { 2 ^ { \mathrm { k } } } = 2 - \frac { 1 } { 2 ^ { \mathrm { n } } } \)

Ich schaffe diese Aufgabe einfach nicht mehr. Induktion ist ja nicht mein Lieblingsthema, aber eigentlich kriege ich es meistens hin, hier nicht. Vielleicht habt ihr ja mehr erfolg bei der Aufgabe. Brauche nur den Beweis IA, IS habe ich schon.

Comments

Das ist im Prinzip ein Spezialfall von e) bei 

https://www.mathelounge.de/445433/beweisen-sie-durch-vollstandige-induktion-bsp-n-x  

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Verstehe ich leider nicht .

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Er meint, dass du bei der e) einfach x = 1/2 betrachten sollst. Dann ist das genau die Aussage von der Aufgabe hier mit der Ergänzung, dass du noch ein 1/2ⁿ addieren musst, weil deine Summe schließlich bis n geht und nicht bis n-1.

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Versteht du den das Ergebnis untern und könntest es mir erläutern ? :( Verstehe es echt nicht .

Answer 1

Brauche nur den Beweis IA,IS u.s.e habe ich schon. Ich hoffe mal, dass das richtig ist und nur die Umformung (Bruchrechnung) fehlt:

Voraussetzung + (zusätzlicher Summand)

Beweis des Induktionsschritts: 

∑_(k=0)^{n+1} 1/2^k 

= ∑_(k=0)^{n} 1/2^k   + 1/2^{n+1}   

      Voraussetzung + (zusätzlicher Summand)

= (2 - 1/2^n) + 1/(2^{n+1})

=(2 - (1*2)/(2^n*2)) + 1/(2^{n+1})

=(2 - (1*2)/(2^n*2^1)) + 1/(2^{n+1})

= 2 - 2/2^{n+1} + 1/(2^{n+1})

= 2 + (1-2)/(2^{n+1})

= 2 - 1/2^{n+1}    q.e.d. 

Comments

Ich habe das bis jetzt so gehabt, aber verstehe echt nicht wie Sie darauf kommen oder was das bringen soll ?

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Dir ist schon bewusst, dass die Summe in der Induktionsbehauptung ∑_(k=0)^{n+1} 1/2^k  einen Summanden mehr hat als die Summe in der Induktionsvoraussetzung ∑_(k=0)^n 1/2^k  ?

Ich habe oben farbig den Anschluss an deinen Text ergänzt. Danach ist es nur noch Bruchrechnen und man kommt auf die rechte Seite der Induktionsbehauptung.