a) Für jedes n∈ℕ gilt:
$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k(k+1) } } =\quad 1-\frac { 1 }{ n+1 } $$
b) Sei x eine reelle Zahl und x ≠ 1. Dann gilt fur jedes n ∈ ℕ0
$$\sum _{ k=0 }^{ n }{ x^{ k } } =\quad \frac { 1-{ x }^{ n+1 } }{ 1-x } $$
Ich habe versucht diese Beweise durch vollständige Induktion durchzuführen. Leider komme ich bei beiden nicht weiter. Ich werde mal meinen Ansatz aufschreiben, vielleicht kann mir jemand sagen, wo ich einen Denkfehler habe.
zu a) Zu zeigen: ∀n∈ℕ $$\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k(k+1) } } =\quad 1-\frac { 1 }{ n+1 } (*) $$
Induktionsanfang: n=1
linke Seite: $$\frac { 1 }{ 1(1+1) } =\quad \frac { 1 }{ 2 } $$
rechte Seite: $$1-\frac { 1 }{ 1+1 } =\quad \frac { 1 }{ 2 } $$
linke Seite = rechte Seite
Induktionsvoraussetzung: $$(*)$$ gilt für ein n∈ℕ
Induktionsschritt: n↦n+1
Induktionsbehauptung: $$\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ \frac { 1 }{ k(k+1) } } =\quad 1-\frac { 1 }{ (n+1)+1 } $$
Induktionsbeweis: l.S. $$\sum _{ k=1 }^{ n }{ (\frac { 1 }{ k(k+1) } ) } +\frac { 1 }{ (n+1)((n+1)+1) } \quad =(IV)\quad 1-\frac { 1 }{ (n+1) } +\frac { 1 }{ (n+1)(n+2) } \quad =\quad 1-\frac { 1 }{ (n+1) } +\frac { 1 }{ (n+1) } +\frac { 1 }{ (n+2) } =1+\frac { 1 }{ (n+2) } $$
?
zu b) Zu zeigen sei x∈ℝ und x≠1 ∀n∈ℕ0 $$\sum _{ k=0 }^{ n }{ { x }^{ k }=\frac { 1-{ x }^{ n+1 } }{ 1-x } } \quad (**)$$
Induktionsanfang: n=0
linke Seite: 00=1
rechte Seite:$$\frac { 1-{ 0 }^{ 0+1 } }{ 1-0 } =1$$
l.S.=r.S.
Induktionsvoraussetzung: $$(**)$$ gilt für ein n∈ℕ0
Induktionsschritt: n↦n+1
Induktionsbehauptung: $$\sum _{ k=0 }^{ n+1 }{ { x }^{ k }=\frac { 1-{ x }^{ (n+1)+1 } }{ 1-x } } \quad $$
Induktionsbeweis: l.S. $$\sum _{ k=0 }^{ n }{ { x }^{ k }+{ x }^{ n+1 } } \quad =(IV)\quad \frac { 1-{ x }^{ n+1 } }{ 1-x } +{ x }^{ n+1 }\quad =\quad \frac { 1-{ x }^{ n+1 }+{ x }^{ n+1 } }{ 1-x+1 } =\frac { 1 }{ 2-x } $$
?
Über jeden Hinweis oder jeden anderen Lösungsvorschlag wäre ich extrem dankbar!
