Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage stimmt

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage für jede natürliche Zahl n gilt:

\( \prod_{i=1}^{n}{(1 + \frac{2}{i})} = \sum\limits_{i=1}^{n+1}{i}\)

Problem/Ansatz:

Induktionsanfang

\(n = 1\)

\(3 = 3\)

Induktionsvoraussetzung

\( n = k\)

\(\prod_{i=1}^{k}{(1 + \frac{2}{i})} = \sum\limits_{i=1}^{k+1}{i}\)

Induktionsbehauptung

\( n = k + 1\)

\(\prod_{i=1}^{k+1}{(1 + \frac{2}{i})} = \sum\limits_{i=1}^{k+2}{i}\)

Induktionsbeweis

\(\prod_{i=1}^{k+1}{(1 + \frac{2}{i})} = (\sum\limits_{i=1}^{k+1}{i}) * (1 + \frac{2}{k + 1})\)

Ab hier weiß ich nicht weiter. Ich brauche Hilfe dabei, diesen Beweis durchzuführen.

Answer 1

Hallo Johannes,

Ab hier weiß ich nicht weiter.

weiter geht's mit$$\begin{aligned} \prod_{i=1}^{k+1}{(1 + \frac{2}{i})} &= \left(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{i} \right) \cdot \left(1 + \frac{2}{k + 1}\right) \\ &=  \left(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{i} \right) + \frac{2}{k + 1}\left(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{i} \right) \\&=  \left(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{i} \right) + \frac{2}{k + 1}\left( \frac{k+1}2 (k+2)\right) \\&= \left(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{i} \right) + (k+2) \\&= \sum\limits_{i=1}^{k+2}{i} \\&\text{q.e.d.} \end{aligned}$$siehe die Gaußsche Summenformel.

Answer 2

Verwende die Formel für die Summe der natürlichen Zahlen: \( \sum\limits_{i=1}^{n}{i} \) = \( \frac{n·(n+1)}{2} \)