Aufgabe:
Folgenden Ausdruck als Summenformel formulieren:
\( \frac{1}{1(1+1)} + \frac{1}{2(2+1)} + ... + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1} \)
...und Aussage beweisen.
Ansatz:
\( A(n): \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1} \)
Ind-Anfang: für n = 1
\( \frac{1}{1(1+1)} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} = \frac{n}{n+1} = \frac{1}{2}\) // gilt
Ind-Schritt:
z.Z. dass A(n) → A(n+1) für alle n € N gilt.
so dass \( \sum_{n=1}^{n+1} \frac{1}{k ( k + 1) } = \frac{n+1}{(n+1)+1} = \frac{n+1}{n+2} \)
\( \sum_{n=1}^{n+1} \frac{1}{k ( k + 1) } = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+1+1)} \)
\( =_{i.A.} \frac{n}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} \) // einsetzen der i.A.
\( = \frac{n}{n+1} + \frac{1(n+1)} {n+2} \)
\( = \frac{n}{n+1} + \frac{n+1} {n+2} \)
Und hier weiß ich nicht weiter...
der 2. Summand hat bereits die Form die ich brauche.
EDIT: Fehlende Klammerpaare um die Nenner in der Überschrift ergänzt.
