Kern einer linearen Abbildung mit einer auf ganz R definierten Funktion als Element

Question

Aufgabe:

Berechne eine Basis des 2-dimensionalen Kern der Jacobi-Matrix \(J_g(x,y,z) =\begin{pmatrix}  x & y & f'(z)f(z)  \end{pmatrix},\)

wobei x,y \( \in \mathbb{R}\), sowie \(f:(a,b) \rightarrow \mathbb{R}\) eine \(C^1\)-Funktion mit \(f>0\)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie ich bei dem "klassischen" Lösungsverfahren nach dem Kern einer linearen Abbildung, in diesem Spezialfall die Möglichkeit, dass \(f'(z) = 0\) ist, behandel. Ich kenne eine Basis des Kerns bereits, würde aber gern den Weg dorthin wissen. Danke für jegliche Hilfe.

MfG

Answer 1

Falls x=0, y=0 und f'(z)=0 (was ja theoretisch nicht ausgeschlossen ist) hat die Matrix Rang 0 und dementsprechend auch einen Kern der Dimension 3.

Sonst hat die Matrix Rang 1 und folglich Defekt 2.

Falls x = 0 ist \( J_g(x,y,z) =\begin{pmatrix}  0 & y & f'(z)f(z)  \end{pmatrix} \) im Kern befinden sich z.B. die linear unabhängigen Vektoren

$$ \begin{pmatrix}  1 \\ 0 \\ 0  \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 0 \\ f'(z)f(z) \\ -y  \end{pmatrix} $$

(warum ist der zweite nicht der Nullvektor?)

Jetzt für y=0: \( J_g(x,y,z) =\begin{pmatrix}  x & 0 & f'(z)f(z)  \end{pmatrix} \) im Kern sind:

$$ \begin{pmatrix}  0 \\ 1 \\ 0  \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}  f'(z)f(z) \\ 0 \\ -x  \end{pmatrix} $$

Für f'(z) = 0 selbst überlegen.