Lösen von Gleichung in G

Question

 

ich bräuchte einen Ansatz wie ich folgende Aufgabe lösen kann (bitte keine direkte Lösung, will ja dabei was lernen :P)

"Sei die Menge G := ℝ \ {-1}.  a * b = ab + a + b (* ist Verknüpfung)"

Wir sollen nun eine Gleichung "3 * x * x = 15" in der Gruppe lösen. 

Ich gehe davon aus dass ich das mit dem inversen Element lösen muss, habe nur keinen richtigen Ansatz wie ich das aufschreiben kann. 

Kann man die Gleichung in x * x = 12 umschreiben? oder geht das nicht durch die Verknüpfung?  

Danke schon mal im Voraus :)

Answer 1

Bevor man mit Inversen rechnen kann, muss man sie erst mal bestimmt haben. Was ist denn bei Dir 3^-1? Der erste Schritt ist dann x *x = 15 * 3^-1. Dann muss man Quadratwurzeln in G ziehen koennen, um x zu bekommen.

Comments

Erstmal danke für die schnelle Antwort!

Ich hatte fälschlicherweise angenommen dass ich die 3 auf der linken Seite einfach subtrahieren kann, daher die 12. Deshalb habe ich ja gefragt ob das mit der Verknüpfung so geht. 3^-1 ist bei mir 1/3, oder stellt das nur das inverse Element dar? Denn wenn die Verknüpfung ein + wäre wäre das inverse Element doch -3 und nicht 1/3 oder? 

Wir haben das Thema vor einer Woche ca. erst angefangen deshalb ist mir das noch relativ neu, mir ist glaube ich nicht ganz klar wie ich mit Verknüpfungen umzugehen habe.

Den Schritt x*x=15*3^-1 hatte ich so auch schon mal auf dem Papier stehen aber kam dadurch nicht weiter, wahrscheinlich dadurch, dass ich nicht genau weiß wie ich mit Verknüpfungen rechnen kann. 

Hättest du vielleicht noch einen weiteren Tipp?

 

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Kurzer Edit:
Wenn ℝ \ {1} eine Abelsche Gruppe ist, wäre x doch eindeutig lösbar mit x = √5 oder?

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3^-1 ist bei mir 1/3

Bei mir nicht. Die relevante Verknuepfung ist *.

Fange doch mal damit an, dass Du das neutrale Element e und das Inverse a^-1 von a bzgl * in G bestimmst. Fuer e muss gelten

   a * e = a für alle a

und für a^-1 muss

  a * a^-1 = e

sein. Dazu musst Du * nach Definition ersetzen und dann kannst Du in ℝ rechnen. (Das kannst Du nebenbei auch gleich für die Gleichung 3 * x * x = 15 machen, aber Du wolltest ja in G loesen.)

Wenn ℝ \ {1} eine Abelsche Gruppe ist, wäre x doch eindeutig lösbar mit x = √5 oder?

Quatsch. Alle Operationen sind bzgl. * durchzufuehren. Und das ist definiert, wie es angegeben ist. Es handelt sich nicht um die Multiplikation in ℝ. Und Wurzelziehen kann man in Gruppen auch nicht per se.

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Mit einem Isomorphismus erledigst du alles auf einen Schlag.