Zeigen Sie, dass T1 ein Teilraum des C3 ist. etc... bitte alle aufgaben

Question

02_Aufgaben linA.pdf (0,1 MB)Einen guten Tag alle zusammen,könnt ihr mir bitte die Aufgaben detailierter erklären, es ist sehr wichtig... Ich brauche dies auch für die Uni heute. Ich bedanke mich herzlich im voraus bei euch.  MfG.Yasmin

1. Aufgabe
Gegeben sei die folgende Teilmenge des \( \mathbb{C}^{3} \) :
$$ T_{1}=\left\{\left(\begin{array}{l} {x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}} \end{array}\right) \in \mathbb{C}^{3} | 2 x_{1}=x_{2}\right\} \subseteq \mathbb{C}^{3} $$
(a) Zeigen Sie, dass \( T_{1} \) ein Teilraum des \( \mathbb{C}^{3} \) ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Menge
$$ \mathcal{B}=\left\{\left(\begin{array}{c} {0} \\ {0} \\ {3} \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} {i} \\ {2 i} \\ {-4} \end{array}\right)\right\} $$
linear unabhängig ist und ein Erzeugendensystem von \( T_{1} \) bildet. Ist \( \mathcal{B} \) eine Basis von
$$ T_{1} ? $$
(c) Bestimmen Sie die Dimension von \( T_{1} \)

2. Aufgabe
Gegeben sei die folgende Teilmenge des \( \mathbb{R}^{3} \) :
$$ T_{2}=\left\{\left(\begin{array}{l} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} | x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\} \subseteq \mathbb{R}^{3} $$
Ist \( T_{2} \) ein Teilraum des \( \mathbb{R}^{3} ? \)

3. Aufgabe
Wählen Sie aus der folgenden Menge zwei verschiedene Basen des \( \mathbb{R}^{2} \) aus:
$$ \left\{\vec{v}_{1}=\left(\begin{array}{c} {-i} \\ {2} \end{array}\right), \vec{v}_{2}=\left(\begin{array}{c} {7} \\ {2} \end{array}\right), \vec{v}_{3}=\left(\begin{array}{c} {-6} \\ {2} \end{array}\right), \vec{v}_{4}=\left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right), \vec{v}_{5}:=\left(\begin{array}{c} {3} \\ {-1} \end{array}\right), \vec{v}_{6}:=\left(\begin{array}{c} {0} \\ {0} \end{array}\right)\right\} $$
4. Aufgabe
(a) Bestimmen Sie die Dimension des Teilraums
$$ T=\left\{\left(\begin{array}{c} {0} \\ {i b} \\ {3 b} \end{array}\right) \in \mathbb{C}^{3} | b \in \mathbb{C}\right\} \subseteq \mathbb{C}^{3} $$
(b) Ist \( \mathbb{R}^{5} \) ein Teilraum des \( \mathbb{C}^{5} ? \)

Answer 1

1a)   Für Teilraum musst du nur zeigen:

Ist der Nullvektor drin ?  Ja, denn der ist ( 0;0;0) also x1=0 und x2=0  und

wegen 2*0 = 0 ist die Bedingung erfüllt und er gehört dazu.

Ist zu jedem Vektor der negative drin ?    Ja, denn wenn 2x1 = x2

dann auch 2*(-x1) = -x2

und ist von zweien die Summe drin:  also wenn 2x1=x2 und 2y1=y2

dann auch 2(x1+y1) = x2+y2  

und ist jedes z-fache eines Vektors in der Menge ?  Ja,  denn

wenn 2x1=x2   dann auch  2x1*z = x2*z

Für lin. unabhängig bilde ein Gl.system mit 3 Gleichungen aus dem

Ansatz  x * 1. Vektor + y* 2. Vektor = 0-Vektor und zeige:Das hat nur die Lösung x=y=0.

Für Erz.system, zeige jeder Vektor aus T1 läßt sich durch die gegebenen

Vektoren darstellen, also 

x * 1. Vektor + y* 2. Vektor =   (   x1  ;    2x1   ;  x3  )   denn x2 = 2x1 !Also ist es eine Basis und dim = 2 , weil es eine Basis mit Vektoren gibt.


2.  Ist kein Teilraum, denn  (1 ; 0 ; 0 ) ist drin und ( o ; 1 ; 0 ) aber die Summe nicht.

3. Nimm v2 und v3 oder   v2 und v5