Sandwich-Theorem / Einschnürungssatz. Grenzwert von an = 2n / 2^n

Question

Benutzen Sie das Sandwich-Theorem, um die Zahlenfolgen an = 2n / 2^n und  bn = n √3^n + 5^n; n ∈N auf Konvergenz zu untersuchen und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert für n →∞.

Kann mir hier jemand einen Ansatz geben oder den Rechnenweg erklären?

Comments

(i)  Bekanntlich gilt \(2^{n+1}>n^2\) für alle \(n\in\mathbb N\). Außerdem sind alle Folgeglieder positiv. Es gilt also \(0< a_n<\frac4n\).

Answer 1

Zeige zunächst mit vollst Ind.  für n>8 gilt   2n < (√2)ⁿ 


Dann hast du  für n>8 

    2 /  2ⁿ  <      2n / 2ⁿ  <   (√2)ⁿ  / 2ⁿ  

⇔   1 / 2^n-1  <      2n / 2ⁿ  <   1/ (√2)ⁿ 

und weil    1 / 2^n-1    und    1/ (√2)ⁿ 


gegen 0 gehen,  tut       2n / 2ⁿ  das auch.