Lösen Sie das Gleichungssystem und nennen Sie alle Lösungen von t

Question

Bestimmen Sie, für welche t aus R das folgende Gleichungssystem in erweiterter Koeffizientendarstellung lösbar ist und geben Sie die Lösungen an.

2	4	2	12t
2	12	7	12t+7
1	10	6	7t+8

Teile I durch 2, rechne II - 2* I und III -I

1	2	1	6t
0	8	5	7
0	8	5	1t+8

Rechne II - III

1	2	1	6t
0	0	0	-t-1
0	8	5	t+8

Aus der zweiten Zeile ergibt sich nach Umstellung t = -1.

Ist das schon die endgültige Lösung oder muss ich noch was machen?


 

Answer 1

als erstes würde ich Zeilen 2 und 3 tauschen.

Dann gilt: Falls Rang der Matrix kleiner als Rang der erweiterten Matrix, gibt es keine Lösung.

Für \( t = -1 \) bekommst Du die Zeile 3 ganz auf 0, musst aber auch bei den anderen Zeilen einsetzen und eine Lösungsmenge berechnen.

Grüße,

M.B.

Comments

Rang der Matrix kleiner als Rang der erweiterten Matrix...

Also wenn die Matrix eine 3x3 und die erweiterte Matrix eine 3x4 wäre?

Dann gibt es keine Lösung oder unendlich viele? Wenn ich t in die anderen einsetzte, bekomm ich ja nur Lösungen, bei denen die Variablen abhängig voneinander sind. Dann gibt es doch unendlich viel, oder?

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Deine Gleichung entsteht normalerweise aus einem linearen Gleichungssystem der Form \( Ax = b \).

Du musst die Ränge der Matrizen \( A \) und \( A|b \) vergleichen, d.h. einmal ohne und einmal mit Deiner 4. Spalte.

Grüße,

M.B.

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ok, dass mit dem Gleichungssystem ist klar. aber ich weiss gar nicht was ein Rang ist und versteh auch A I b vergleichen nicht???

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ganz primitiv gesagt, formst Du um, wie oben.

Dann nimmst Du Deine umgeformte Matrix ohne rechte Spalte und schaust, wie viele Zeilen, die nicht ganz 0 sind dort übrig bleiben, das sind 2 bei Dir.

Dann nimmst Du die vollständige Matrix und schaust ebenfalls. Dort hast Du auch nur 2 Zeilen, wenn Du \( t = -1 \) setzt, und musst nun eine Lösungsmenge bestimmen. In allen anderen Fällen hast Du 3 Zeilen und damit keine Lösung.

Grüße,

M.B.

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In Mathe gefallen mir primitive Formulierungen ;-) Danke schön, jetzt hab ich´s :-)

Answer 2

Aus der zweiten Zeile ergibt sich nach Umstellung t = -1.

Ist das schon die endgültige Lösung oder muss ich noch was machen?

Ja, du hast ja jetzt nur, dass es für t=-1 Lösungen gibt, und

zwar unendlich viele, wenn du nämlich x3 = r wählst, dann

geben dir die 1. und die Zeile 

8x2 + 5r = 7 

x2 =  7/8  - 5/8 r     und

x1  +2( 7/8  - 5/8 r  )  + r  =  -6   gibt

x1 = -31/4 + r/4  Also sind die Lösungen alle von der

Form  (  -31/4 + r/4  ;   7/8  - 5/8 r   ;  r   )    mit r aus IR  .

Comments

Hm... darauf wär ich nie gekommen, vielen Dank.

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bzw, kann ich jetzt nachvollziehen, komm aber bei X1 = -31/4 - 9/4r?

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Hab schon, Vorzeichenfehler, Danke :-)

Answer 3

deine Umformung ist richtig.

Es fehlt die Angabe der Lösungsmenge:

Setze t = -1 ein. Setze dann  z∈ℝ beliebig und rechne y und x  in Abhängigkeit von z aus.

Gruß Wolgang

Comments

Du sagst z beliebig wählen, weiter oben hieß es z = r. Ist das egal, bleibt es sich gleich? Oder wäre r nur eine allgemeinere Form?

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z bzw. r stehen einfach für eine beliebige Zahl aus ℝ. Der Name ist gleichgültig.