Funktion ist nicht injektiv, was dann?

Question

Hallo:) Sitze gerade an Mathe1 und habe hier in dem Skript stehen, dass die trigonometrischen Funktionen nicht injektiv Sind. Habe dann gedacht, dass sie somit auch nicht bijektiv sein können, wenn ich mich nicht täusche,da dort doch auch lnjeklivität vorliegen muss, dann können sie  doch nur su rjektiv sein Oder?

Hoffe ich habe das richtig verstanden

Answer 1

surjektiv hängt ja stark vom Zielbereich ab.

wenn du z.B.   sin : IR ---> IR  betrachtest, ist es nicht surjektiv, wohl

aber    sin : IR ---> [ -1 ; 1 ]    schon.

Comments

aber sowas  hatte ich nicht gegeben, wie soll ich das dann verstehen?

Answer 2

Du musst auf jeden Fall mal einen Definitionsbereich D annehmen.

Für die reellen trigonometrischen Funktionen ist der normalerweise alle reellen Zahlen, also nehmen wir mal an D= ℝ.

Dann gibt es bei Funktionen auch Bildbereiche (Wertevorrat), dann eine Funktion ordnet gemäss Definition jedem Element des Definitionsbereichs genau ein Element des Bildbereichs zu.

Beispiel:

f(x) = sin(x) ist nicht injektiv, weil z.B. sin(0) = sin(π).

Der Wertebereich von sin(x) = [-1,1] . Wenn das auch der Wertevorrat ist, ist f(x) = sin(x) surjektiv.

Wenn der Wertevorrat aber ℝ ist, ist f(x) = sin(x) nicht surjektiv, da es z.B. kein x∈ℝ gibt mit sin(xo) = 2.

Du kannst Definitionsbereich und Bildbereich aber so einschränken, dass sin(x) bijektiv ist. Z.B. ist das innerhalb von folgendem Rechteck zwischen rot, grün, gelb und lila der Fall:

~plot~ sin(x) ; -1; 1; x = -π/2 ; x = π/2 ~plot~

Comments

oooh okay

die sache bei diesem skript ist, dass das da nicht erklärt wurde, da steht dann nur, dass man aus dem grund nicht unmittelbar eine Umkehrfunktion angeben kann und alles erstmal einschränken muss. also was du mir ja aufgeschrieben hast grade

weiß  halt nicht was das dann sein soll  wenn es nicht injektiv ist

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Dann ist halt der Definitionsbereich noch nicht eingeschränkt. D.h. D = ℝ und der Wertevorrat ist auch mal einfach W = ℝ.

f: ℝ → ℝ , f(x):= sin(x) ist weder injektiv noch surjektiv und auch nicht bijektiv.