Sind die folgenden Gleichungen bijektiv, surjektiv, injektiv? Mit Begründung

Question

f: R -> R²: t -> (2cos (t), -sin (t))

h: C \ {i} -> C \ {0}: z -> 1/ (+i)

g: C -> R: z -> Re( | iz | ) - | i Re(z)

Answer 1

f: nicht injektiv, wegen der Periodizität von sin und cos. Auch nicht surjektiv, wegen der Beschränktheit von sin und cos.

Comments

Danke schonmal aber könntest du das genauer erklären? was hat es mit der periodizität auf sich? ist f also gar nichts?

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Injektivität bedeutet, dass für verschiedene Argumente x und y auch verschiedene Funktionswerte f(x) und f(y) entstehen.

Nimm dir z.B  x=0 und y=2π. es gilt f(x)=f(0)=(2,0) und f(y)=f(2π)=(2,0) . Die Funktionswerte sind gleich obwohl die Argumente unterschiedlich sind, die Funktion ist also nicht injektiv.

Surjektivität bedeutet, dass alle Werte der Zielmenge erreicht werden, hier wären das  alle Vektoren des ℝ^2

Es gilt aber -2<=2*cos(t)<=2 für alle t und deshalb ist kannst du nicht alle Vektoren darstellen mit der Funktion.

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Vielen Dank:D

und was ist mit g ?

Answer 2

Sei h: ℂ \ {i} -> ℂ \ {0}: z -> 1/(z_quer+i)    

Injektiv, also     1/(v_quer+i)      =    1/(u_quer+i)     

                         v_quer+i  =   u_quer+i    |   - i 


                              v_quer  =   u_quer  

                                v = u    also Injektiv.

surjektiv:    Sei  z ∈  ℂ \ {0}  

gibt es u∈  ℂ \ {i}    mit  h(u) = z   ???

                         1/(u_quer+i)    =     z    Da z ≠ 0 .

                            u_quer+i   =  1/z  


                      u_quer  =  1/z   - i

                     u =  ( 1/z   - i) _quer

   also gibt es so ein u    und wegen  1/z   ≠ 0   ist das ungleich   i.

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also ist es nicht bijektiv?