Wie wurde diese Summe umgeformt? 1/2 ∑_(n=0) (x^{2n+1} - (-x)^{2n+1}) / (2n+1)! + (x^{2n} - (-x)^{2n}) / (2n)!

Question

Kann mir jemand erklären, wie folgendes umgeformt wurde?

Begonnen wurde bei den Umformungen mit der Funktion f(x)= 1/2 (exp(x) - exp(-x)), die es zu beweisen gilt.

Die Umformungen sind mir soweit klar, nur einen Teil verstehe ich nicht:

Wie komme ich von

1/2 ∑_n=0   (x²ⁿ⁺¹ - (-x)²ⁿ⁺¹) / (2n+1)!  +  (x²ⁿ - (-x)²ⁿ) / (2n)!

auf

= 1/2 ∑_n=0   (2x²ⁿ⁺¹) / (2n+1)!  +  (x²ⁿ -x²ⁿ) / (2n)!

Wieso wird das -(-x) einmal zu + und das andere mal zu - ?

Answer 1

1/2 ∑_n=0   (x²ⁿ⁺¹ - (-x)²ⁿ⁺¹) / (2n+1)!  +  (x²ⁿ - (-x)²ⁿ) / (2n)!

=  = 1/2 ∑_n=0   (2x²ⁿ⁺¹) / (2n+1)!  +  (x²ⁿ -x²ⁿ) / (2n)!

  x²ⁿ⁺¹ - (-x)²ⁿ⁺¹ =   (x²ⁿ⁺¹ - ( -x²ⁿ⁺¹ ) ungerader Exponenten 2n+1  →  Minuszeichen bleibt erhalten

=  x²ⁿ⁺¹ + x²ⁿ⁺¹ =  2·x²ⁿ⁺¹  ###################################                                  x²ⁿ - (-x)²ⁿ  = x²ⁿ - (x)²ⁿ   gerader Exponent →  - fällt weg ******************************************************                       Gruß Wolfgang