Wie bekomme ich die Reihe auf die rechte Form umgeformt?

Question

Aufgabe:

Wie bekomme ich die Reihe auf die rechte Form umgeformt?

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{k+1^{k-1}}{(-k)^k} = \sum_{k=0}^{\infty} \quad(-1)^k \quad\frac{1}{k} \quad(\frac{k+1}{k})^{k-1}$$

Folgendes hab ich schon probiert:

$$\frac{k+1^{k-1}}{(-k)^k} = \frac{(k+1)^k * (k+1)^{-1}}{(-k)^k} = \frac{(k+1)^k}{(-k)^k*(k+1)} = (\frac{k+1}{(-k)})^k * \frac{1}{k+1} $$

Ab da weiss ich dann nicht was ich noch machen soll, um auf die Form der Lösung zu kommen.

Danke schonmal für die Hilfe

Answer 1

\(\begin{aligned} & \frac{\left(k+1\right)^{k-1}}{\left(-k\right)^{k}}\\ = & \frac{\left(k+1\right)^{k-1}}{\left(-1\cdot k\right)^{k}}\\ = & \frac{\left(k+1\right)^{k-1}}{\left(-1\right)^{k}\cdot k^{k}}\\ = & \frac{1}{\left(-1\right)^{k}}\cdot\frac{\left(k+1\right)^{k-1}}{k^{k}}\\ = & \frac{1^{k}}{\left(-1\right)^{k}}\cdot\frac{\left(k+1\right)^{k-1}}{k^{k}}\\ = & \left(\frac{1}{-1}\right)^{k}\cdot\frac{\left(k+1\right)^{k-1}}{k^{k}}\\ = & \left(-1\right)^{k}\cdot\frac{\left(k+1\right)^{k-1}}{k^{k}}\\ = & \left(-1\right)^{k}\cdot\frac{\left(k+1\right)^{k-1}}{k\cdot k^{k-1}}\\ = & \left(-1\right)^{k}\cdot\frac{1}{k}\cdot\frac{\left(k+1\right)^{k-1}}{k^{k-1}}\\ = & \left(-1\right)^{k}\cdot\frac{1}{k}\cdot\left(\frac{k+1}{k}\right)^{k-1} \end{aligned}\)

Comments

toll danke für die ausführliche Lösung. Allerdings noch paar Fragen:

1.Wie kommt man auf das $$ 1^k$$ das in der 5ten Zeile bei dir plötzlich im Zähler steht?

2. Wie komme ich auf das $$ \frac{(k+1)^{k-1}}{k*k^{k-1}}$$ ,also speziell das was im Nenner steht? (8.Zeile)

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Wie kommt man auf das \(1^k\)

Man ersetzt die \(1\) im Zähler durch \(1^k\).

Das darf man machen, weil \(1^k = 1\) für jedes \(k\in \mathbb{N}\) ist.

2. Wie komme ich auf das \(\frac{(k+1)^{k-1}}{k*k^{k-1}}\) ,also speziell das was im Nenner steht? (8.Zeile)

Es ist \(k^k = k^{1+k-1} = k^{1}\cdot k^{k-1} = k\cdot k^{k-1}\) laut Potenzgesetz Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis.

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Ok, verstehe. Danke dir :)

Answer 2

Hallo

 1. 1/(-k)^k=1/(-1)^k* 1/k^k=(-1)^k*1/k^k

2. 1/k^k=1/k * 1/k^(k-1)

Gruß lul