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Aufgabe:

Wie bekomme ich die Reihe auf die rechte Form umgeformt?

k=0k+1k1(k)k=k=0(1)k1k(k+1k)k1\sum_{k=0}^{\infty} \frac{k+1^{k-1}}{(-k)^k} = \sum_{k=0}^{\infty} \quad(-1)^k \quad\frac{1}{k} \quad(\frac{k+1}{k})^{k-1}


Folgendes hab ich schon probiert:

k+1k1(k)k=(k+1)k(k+1)1(k)k=(k+1)k(k)k(k+1)=(k+1(k))k1k+1\frac{k+1^{k-1}}{(-k)^k} = \frac{(k+1)^k * (k+1)^{-1}}{(-k)^k} = \frac{(k+1)^k}{(-k)^k*(k+1)} = (\frac{k+1}{(-k)})^k * \frac{1}{k+1}

Ab da weiss ich dann nicht was ich noch machen soll, um auf die Form der Lösung zu kommen.



Danke schonmal für die Hilfe

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(k+1)k1(k)k=(k+1)k1(1k)k=(k+1)k1(1)kkk=1(1)k(k+1)k1kk=1k(1)k(k+1)k1kk=(11)k(k+1)k1kk=(1)k(k+1)k1kk=(1)k(k+1)k1kkk1=(1)k1k(k+1)k1kk1=(1)k1k(k+1k)k1\begin{aligned} & \frac{\left(k+1\right)^{k-1}}{\left(-k\right)^{k}}\\ = & \frac{\left(k+1\right)^{k-1}}{\left(-1\cdot k\right)^{k}}\\ = & \frac{\left(k+1\right)^{k-1}}{\left(-1\right)^{k}\cdot k^{k}}\\ = & \frac{1}{\left(-1\right)^{k}}\cdot\frac{\left(k+1\right)^{k-1}}{k^{k}}\\ = & \frac{1^{k}}{\left(-1\right)^{k}}\cdot\frac{\left(k+1\right)^{k-1}}{k^{k}}\\ = & \left(\frac{1}{-1}\right)^{k}\cdot\frac{\left(k+1\right)^{k-1}}{k^{k}}\\ = & \left(-1\right)^{k}\cdot\frac{\left(k+1\right)^{k-1}}{k^{k}}\\ = & \left(-1\right)^{k}\cdot\frac{\left(k+1\right)^{k-1}}{k\cdot k^{k-1}}\\ = & \left(-1\right)^{k}\cdot\frac{1}{k}\cdot\frac{\left(k+1\right)^{k-1}}{k^{k-1}}\\ = & \left(-1\right)^{k}\cdot\frac{1}{k}\cdot\left(\frac{k+1}{k}\right)^{k-1} \end{aligned}

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toll danke für die ausführliche Lösung. Allerdings noch paar Fragen:

1.Wie kommt man auf das 1k 1^k das in der 5ten Zeile bei dir plötzlich im Zähler steht?

2. Wie komme ich auf das (k+1)k1kkk1 \frac{(k+1)^{k-1}}{k*k^{k-1}} ,also speziell das was im Nenner steht? (8.Zeile)

Wie kommt man auf das 1k1^k

Man ersetzt die 11 im Zähler durch 1k1^k.

Das darf man machen, weil 1k=11^k = 1 für jedes kNk\in \mathbb{N} ist.

2. Wie komme ich auf das (k+1)k1kkk1\frac{(k+1)^{k-1}}{k*k^{k-1}} ,also speziell das was im Nenner steht? (8.Zeile)

Es ist kk=k1+k1=k1kk1=kkk1k^k = k^{1+k-1} = k^{1}\cdot k^{k-1} = k\cdot k^{k-1} laut Potenzgesetz Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis.

Ok, verstehe. Danke dir :)

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Hallo

 1. 1/(-k)k=1/(-1)k* 1/kk=(-1)k*1/kk

2. 1/kk=1/k * 1/k(k-1)

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

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