> warum oder wann man Nullstellen und Schnittpunkte für die Teilintervalle bestimmen muss
Das musst du machen wenn du Flächeninhalte berechnen sollst.
Flächeninhalte sind positiv. Integrale sind es nicht unbedingt.
Verläuft eine Funktion auf einem Intervall komplett oberhalb der x-Achse, dann ist der Flächeninhalt zwischen x-Achse und Funktionsgraph auf diesem Intervall gleich dem Integral auf diesem Intervall.
Verläuft eine Funktion auf einem Intervall komplett unterhalb der x-Achse, dann ist das Integral auf diesem Intervall negativ, nämlich die Gegenzahl des Flächeninhaltes zwischen x-Achse und Funktionsgraph auf diesem Intervall.
Ob eine Funktion oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft, kann sich (falls die Funktion auf dem ganzen Intervall stetig ist) nur an Nullstellen ändern.
Schnittpunkte musst du aus gleichem Grund berechnen, wenn du den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen berechnen musst.
Musst du zum Beispiel das Integral zwischen f(x) und g(x) berechnen, dann rechnest du ja ∫f(x)dx - ∫g(x)dx (oder vielleicht auch direkt ∫(f(x)-g(x))dx). Geht es aber um den Flächeninhalt, dann ist es wichtig, ob g oberhalb von f verläuft oder unterhalb. Das kann sich (falls die Funktionen auf dem ganzen Intervall stetig ist) nur an Schnittpunkten ändern.
Die Schnittpunkte berechnet man, indem man die Funktionsterme gleichsetzt: f(x) = g(x). Oder anders formuliert (subtrahiere g(x) auf beiden Seiten) f(x)-g(x) = 0. Schnittpunkte zweier Funktionen sind also Nullstellen der Differenzfunktion.
