Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f, der Tangente im Punkt P und der x-Achse begrenzt wird.

Question

Aufgabe:

Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f, der Tangente im Punkt P und der x-Achse begrenzt wird.

a) f(x)=e^-x-1 ; P(2;f(2))

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor?

Comments

Wie gehe ich hier vor?

Ich würde damit anfangen, den Graphen von f und die genannte Tangente aufzuzeichnen. Und dann wiederkommen.

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Das habe ich schon gemacht.. aber wie komm ich rechnerisch darauf weil bei mir kommt beim einsetzen etwas anderes raus als in den lösungen

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Dann zeige mal Deine Skizze bitte. Dann wird klar, wo Dein Problem sein könnte.

Und die Musterlösung.

Answer 1

Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f, der Tangente im Punkt P und der x-Achse begrenzt wird.

a) \(f(x)=e^{-x}-1\) ; \(P(2|e^{-2}-1)\)

\(f´(x)=-e^{-x}\)

\(f´(2)=-e^{-2}\)

\( \frac{y-(e^{-2}-1)}{x-2} =-e^{-2}\)

Tangente:

\( y-e^{-2}+1 =-e^{-2}*(x-2)\)

\( y =-e^{-2}*(x-2)+e^{-2}-1\)

Schnitt mit x-Achse

\( -e^{-2}*(x-2)+e^{-2}-1=0\)

\( -e^{-2}*x+3*e^{-2}-1=0\)

\( e^{-2}*x-3*e^{-2}+1=0\)

\( e^{-2}*x=3*e^{-2}-1\)

\( x=3-\frac{1}{e^{-2}}\)

Comments

Ich habe das gerade im Intervall (3- 1/e^-2 ; 2) integriert, dort kommt aber eine sehr große negative Zahl raus... habe ich etwas falsch gemacht?

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Die Dreieckfläche beträgt 2,76FE.

\(A= \int\limits_{0}^{2}(e^{-x}-1)dx=[-e^{-x}-x]→[-e^{-2}-2]-[-e^{-0}-0]=-e^{-2}-1≈|-1,135|=1,135FE\)

Gesuchter Flächeninhalt :  \(2,76FE-1,135FE=1,625FE\)