Zeigen Sie per Induktion über ¨ n, dass für alle ¨ n ≥ 1 gilt: a(kleines)n = 1/n .

Question

Für  n ∈ N, n ≥ 1 seien an reelle Zahlen, für die folgendes gilt:

a₁ = 1; und a_n+1 · (an + 1) = a_n für alle  n ≥ 1.

Zeigen Sie per Induktion über  n, dass für alle n ≥ 1 gilt:

a_n = 1 /n .       *

(?) Anleitung: ” Per Induktion über n“ zeigen bedeutet, dass Sie folgendes zeigen müssen:

• Die Aussage (*) gilt für  n = 1 (Induktionsanfang).

• Wenn die Aussage (*) für ein (beliebiges gegebenes)  n gilt, dann gilt sie auch für n + 1 (Induktionsschluss). 

Comments

Das ergibt in dieser Darstellung keinen Sinn.

a_n+1 · (an + 1) = a_n soll vielleicht a_n+1 · (a_{n + 1}) = a_n heißen?

Dann ergibt es immer noch keinen Sinn, auch wegen a_n = 1 /n .

Oder soll es heißen a_n+1 · (a_n + 1) = a_n?

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Eig. ist alles so wie es da steht in der Aufgabenstellung. Ich habe nichts verändert

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a_n+1 · (a_n + 1) = a_n

 _{ja es ist so wie du gesagt hast}

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Hast du mittlerweile eine Lösung gefunden? Ich verzweifele am Beweis....

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Leider nicht. Habe nur noch den IA. Bei IS komme ich nicht weiter

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Ich komm beim Beweis einfach nicht weiter.

InduktionsVoraussetzung:

1/(n+1) *(1/n + 1)=1/n

Induktionsbehauptung:

1/((n+1)+1)*(1/(n+1) + 1) = 1/(n+1)

Beweis des Induktionsschritt:

1/(n+2)*(1/(n+1) + 1) = ...

Ich weiß, dass ich nun die InduktionsVoraussetzung einsetzen müsste, habe aber keine Idee wie. Habe schon versucht die linke Seite umzuformen, so dass ich teilweise wieder die InduktionsVoraussetzung erhalte um einzusetzen aber ich komm einfach nicht weiter.

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Beachte, dass du wenn du kommentieren möchtest nicht die Rubrik "Antwort" wählen solltest. Da merken die Leute, die kommentiert haben, dass du noch etwas sagen möchtest. 

Habe nun deine "Antwort" vor 5 Tagen in einen Kommentar umgewandelt.

Answer 1

$${ a }_{ 1 }=1, { a }_{ n+1 }=\frac { { a }_{ n } }{ { a }_{ n }+1 }\\Behauptung: { a }_{ n }=1/n\\IA: n=1 stimmt\\IV: { a }_{ n }=1/n\\IS:{ a }_{ n+1 }=\frac { { a }_{ n } }{ { a }_{ n }+1 }\\=\frac { \frac { 1 }{ n } }{ \frac { 1 }{ n }+1 }\\=\frac { 1 }{ 1+n }=\frac { 1 }{ n+1 } $$

Comments

Oh man, dass ich auf sowas nicht selber komme... Du hast einfach die Prämisse nach a_n+1 umgestellt.

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Wie kommst du von der vorletzten in die letzte Zeile?

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Da wurde mit n erweitert . D.h. oben und unten "mal n" gerechnet.

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Bin heut morgen auch drauf gekommen, seltsamerweise wurde meine Antwort nicht gepostet... :/