Frage zu Invertierbare Matrizen

Question

Seien M_1,....,M_s invertierbare Matrizen in M_n(K). Sei A∈M_n(K). Die Matrix M_1*....*M_s*A ist invertierbar genau dann, wenn die Matrix A invertierbar ist.

Beweis: (->)

Sei die Matrix M_1*...*M_s*A invertierbar mit inverser Matrix B. Also ist B*M_1*...*M_s die Inverse von A.

Bei diesem Schritt komme ich nicht ganz draus, wieso kann man hier sagen dass dann B*M_1*...M_s die Inverse von A ist?

Gruss

Answer 1

$$ M_1M_2\cdots M_sA = B^{-1} $$

$$ (M_s^{-1}\cdots M_2^{-1}M_1^{-1})(M_1M_2\cdots M_s)A = (M_s^{-1}\cdots M_2^{-1}M_1^{-1})B^{-1} $$

Links in der Mitte (bei der Klammer) stoßen eine Matrix und die Inverse aneinander, verrechen sich also zur Einheitsmatrix und verschwinden damit, dann für die nächste das gleiche, usw.

$$ EA = M_s^{-1}\cdots M_2^{-1}M_1^{-1}B^{-1} $$

$$ A = (B M_1M_2\cdots M_s)^{-1} $$

$$ A^{-1} = (B M_1M_2\cdots M_s) $$

Gesetze für Invertierung.

Grüße,

M.B.