Grenzwert Limes von sinx durch x

Question

Hallöchen,

hätte da mal eine Frage

Ich habe gelernt das der Limes gegen 0 ( Null) von

sinx /x gleich 1 ist aber wieso ist das so

Comments

Die Antwort kann mit l´Hospital gegeben  werden

lim x −> 0  [ sin ( x ) / x ] = 0 / 0
l ´Hospital
( sin ( x ) ) ´ /  x ´ = cos ( x ) / 1
lim x −> 0 [ cos x ] = 1

mfg Georg

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Diese Antwort ist nur dann akzeptabel, wenn zur Herleitung von   sin '  =  cos   nicht bereits genau dieser Grenzwert verwendet wird.

Answer 1

Hi,

Nutze die Erklärung von Georg (siehe Kommentar von hj2144) oder schreibe den Sinus als Potenzreihe und bestimme den Grenzwert.

Grüße 

Answer 2

$$ \text{es gilt die Ungleichung sin(x)<=x<=tan(x) für positive x,teile durch sin(x)}\\1<=x/sin(x)<=1/cos(x)|{ (...) }^{ -1 },\\1>=sin(x)/x>=cos(x)\\\text{Lässt man x nun gegen 0 laufen,steht da }\\\lim_{x\to0+}1>=\lim_{x\to0+}sin(x)/x=\lim_{x\to0+}cos(x),bzw\\1>=\lim_{x\to0+}sin(x)/x>=1, -->\lim_{x\to0+}sin(x)/x=1\\\text{(Für negative x kann man das analog zeigen)} $$