hessesche normalform von geraden bestimmen

Question

Gegeben: A(a,1) und B(.1,2)Man soll die hessesche Normalform der Geraden angeben.Wir haben im Skript eine Gerade mit r=r₁+y*t definiert.Zunächst sollen wir n berechnen, wobei man dazuy₀=-r₁*t / |t|² berechnen muss und dann n entsprechend noch normieren muss.Aber ich komme schon allein bei der Berechnung von y auf eine etwas längliche Rechnungmity₀=(a+3)/(a²+2a+2)Dann muss man ja noch r0 = r1+y₀*t berechnen.Das führt ja zu einer ewigen Rechnerei´. Zumal gibt es auf die Aufgabe nur zwei Punkte.Kann das stimmen oder hab ich mich schon bei y verrechnet?Vielleicht kann da mal jemand drüberschauen. LG

Answer 1

Hallo Simon,

 A(a,1) und B(.1,2)

Geradengleichung g:  (x,y)  = (1,2) + r * ( 1-a , 2-1)  =  (1,2) + r * ( 1-a , 1) 

( -1 ,1-a)   ⊥  ( 1-a , 1)   (Skalarprodukt 0)   →  ( -1 ,1-a)  ist Normalenvektor von g

Punkt-Normalenform von g:

 ( -1 ,1-a)  * (x,y)  -  ( -1 ,1-a) * (1,2)  = 0

 ( -1 ,1-a)  * (x,y)  + 2·a -1 = 0

| ( -1 ,1-a) | = √(a² - 2·a + 2)

Hesse-Normalenform:

 ( -1 ,1-a) / √(a² - 2·a + 2)  *  (x,y)   +  (2·a -1) / √(a² - 2·a + 2)  =  0

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

die hessesche Normalform ist bei uns mit (r-r_o)*n=0 definiert, wobeir_o der Normalenvektor und n der normierte Normalenvektor ist.r_o ist ja hier r_o=(-1,1-a) und n einfach der normierte Einheitsvektor. r soll ja irgendein Geradenpunkt sein. Bei dir x,y.Kannst du vielleicht nochmal kurz erklären wie du auf die bei dir blau markierte Hesse Form kommst, wenn man die Definition aus unserem Skript berücksichtigt? :)

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 ( -1 ,1-a) / √(a² - 2·a + 2)  *  (x,y)   +  (2·a -1) / √(a² - 2·a + 2)  =  0

⇔   ( -1 ,1-a) / √(a² - 2·a + 2)  *  (x,y)   -  [ (1 - 2a ) / √(a² - 2·a + 2) ]  =  0

             n₀ * ( r - r₀ ) = 0      ⇔    n₀ * r - n₀ * r₀  =  0  

                                               ⇔    n * r/ |n|   -  n * r₀ / / |n|   =  0        

                                                                             n * r₀  = ( -1 ,1-a) * (1,2) = 1-2a