Warum ist der linksseitige Grenzwert von 2^{1/x-1} = 0 und nicht negativ unendlich?

Question

Hallo liebe Mathelounge,

leider hänge ich aktuell bei einer Aufgabe und komme einfach nicht dahinter.

Es geht um folgendes Problem:

"Bestimmen Sie den rechts - und linksseitigen Grenzwert von  2^1/x-1

Betrachte ich den rechtsseitigen Grenzwert, ist das Ergebnis völlig klar.

lim_x→1-  2^1/x-1 = (+) Inf (Da x-1 von rechts gegen Null geht)

Betrachte ich nun allerdings den linksseitigen Grenzwert, kriege ich Schwierigkeiten:

lim_x→1-  2^1/x-1 = 0

Meine Frage: WIESO geht der linksseitige Grenzwert gegen 0 und nicht gegen - unendlich? Der Nenner der Potenz (x-1) geht doch schließlich von links gegen 0, wodurch ich doch das selbe Szenario habe, wie beim rechtsseitigen Grenzwert - nur mit anderem Vorzeichen.

WICHTIG: Wir sollen die Aufgaben OHNE l'hospital lösen.

Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar :)

Answer 1

" nur mit anderem Vorzeichen."

Manchmal ist das Vorzeichen entscheidend.

Du weißt bestimmt, dass

lim z--->-∞ 2^{z}=0