Grenzwert von lim x->1 von x/(x-1)

Question

Wie lautet der Grenzwert von lim x-> 1  von x/(x-1)?

Wie berechnet man das genau, so dass einmal   -∞ und einmal  +∞ rauskommt?

,

Anna

Answer 1

Hi,

nutze die h-Methode.

Mal für den rechtsseitigen Fall gezeigt.


Dafür ist 1+h zu wählen. Für den linksseitigen Fall wähle 1-h.


$$\lim_{h\to0} \frac{1+h}{1+h-1} = \lim\frac{1+h}{h} = \lim\frac1h+1 = ∞$$


Alles klar?


Grüße

Comments

Warum ist denn \(\lim\dfrac1h+1=\infty\)?

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Wenn h gegen 0 geht, geht der ganze Bruch gegen unendlich. Die +1 hat da nicht mehr viel zu sagen ;).

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Dazu müsste \(h\) immer positiv sein, was nicht notwendigerweise der Fall ist.

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Aber wenn h gegen 0 geht dann geht das doch gar nicht oder? Man kann doch nicht durch 0 dividieren?Oder? Sry, bin nicht soo gut in Mathe=) lg

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Doch das ist der Fall. h>0 und h->0

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Geht "gegen" 0. Und nicht "ist 0". Das ist ein Unterschied ;).

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Warum ist \(h>0\)? Die Folge \(\left\{-\dfrac1n\right\}_{n\in\mathbb N}\) enthält ausschließlich negative Glieder und geht auch gegen Null.

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Und was hat das mit unserer Aufgabe zu tun? n geht wohl gegen unendlich, h aber gegen 0!

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Offensichtlich ist die oben erwähnte Folge eine Nullfolge. Es müsste also gelten$$\infty=\lim_{h\to0}\frac1h=\lim_{n\to\infty}\frac1{-\frac1n}=\lim_{n\to\infty}(-n),$$was sicher nicht zutrifft. Daraus kann man schließen, dass \(\lim\limits_{h\to0}\dfrac1h\) nicht existiert.

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h>0 und damit -1/n nicht zu wählen, sondern 1/n. Und dann passt die Sache.

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Zur Bestimmung des Grenzwertes kannst du nicht einfach eine bestimmte Nullfolge auswählen. Damit der Grenzwert existiert, muss jede Nullfolge zum gleichen Grenzwert führen. Das ist wie gezeigt nicht der Fall, was wie gesagt zur Folge hat, dass der Grenzwert nicht existiert.

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Es gibt ja auch keinen beidseitigen Grenzwert für die Aufgabe selbst.

Deswegen wird einmal das Ganze von links und einmal von rechts betrachtet.

Wie oben geschildert.

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Wenn kein Grenzwert existiert, kann auch \(\lim\tfrac1h+1=\infty\) nicht sein, was du aber in Zeile 5 deiner Antwort behauptet hast.

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Ich sprach von "rechtsseitgem Grenzwer". In Zeile 3 erwähnt.

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Das solltest du dann aber auch dazuschreiben, z.B. \(\lim\limits_{\small{\begin{array}{c}h\to0\\h>0\end{array}}}\tfrac1h=\infty\).

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Da ich das schon in Worten ausgedrückt habe, sah und sehe ich da keine Veranlassung. Findet man auch sonst nicht.

Aber dann wäre das ja nun geklärt.