Konvergenz. Zeigen, dass f genau dann bei x0 gegen c konvergiert, wenn sowohl links- als auch...

Question

hallo ich hab die folgende Aufgabe und weiß nicht wie soll ich genau anfangen

Sei D = ]a, b[\{x0}, wobei a, b ∈ R ∪ {-∞, +∞} und x0 ∈ R mit a < x0 < b. Sei f : D → R und sei c ∈ R. Zeigen Sie, dass f genau dann bei x0 gegen c konvergiert, wenn sowohl links- als auch rechtsseitiger Grenzwert von f bei x0 existieren und gleich c sind.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beweisen: f(x) konvergent, wenn beide einseitigen Grenzwerte existent

Stichworte: grenzwert,rechtsseitig,linksseitig,einseitig,funktion

$$Wie\quad beweise\quad ich:\quad \\ Sei\quad a,b,d\quad \in \quad R\quad mit\quad c

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EDIT: Sicher, dass es sich um eine Folge handelt? Kannst du vielleicht Folgenglieder angeben?

Alternative: Schreibe in einem Kommentar zu deiner Frage eine präzisere Überschrift, die dann ein Moderator in deine Überschrift übernehmen kann.

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ok meine fehler also in die Aufgabe steht nichts mit folgen aber ich hab immer an Folgen gedacht. Es steht nur ,dass f gegen c bei x0 konvergiert

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EDIT: Habe die Überschrift nun korrigiert und "bei x0" vor "gegen c" geschrieben, da das so einfacher lesbar ist.

aber ich hab immer an Folgen gedacht. Die Einleitung sagt dir, dass das f eine Funktion ist. 

Sei D = ]a, b[\{x0}, wobei a, b ∈ R ∪ {-∞, +∞} und x0 ∈ R mit a < x0 < b. 

D ist ein offenes reelles Intervall mit einem Loch bei x0.

Sei f : D → R und sei c ∈ R.  

f ordnet jedem Element aus dem Intervall D eine reelle Zahl zu. 

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Vom Duplikat:

Titel: Konvergenz nach bestimmter Bedingung zeigen

Stichworte: konvergenz,nebenbedingung,genau

Bekommen diese Aufgabe nicht gebacken:

Sei D =]a, b[\{x0}, wobei a, b ∈ R ∪ {−∞, +∞} und x0 ∈ R mit a < x0 < b. Sei f : D → R und sei c ∈ R. Zeigen Sie, dass f genau dann gegen c bei x0 konvergiert, wenn sowohl links- als auch rechtsseitiger Grenzwert von f bei x0 existieren und gleich c sind. 

Answer 1

Du musst nur zeigen, dass für jede Folge u_n  , die gegen x_o konvergiert, die Folge der Funktionswerte

gegen c konvergiert.

Sei also u_n eine solche Folge und sei ε>0.

Dann ist die Teilfolge der u_n, die kleiner oder gleich als xo sind ,

entweder endlich oder konvergiert gegen c, also sind von einem

gewissen N an, alle f(u_n) in U_ε(c), denn im Falle endlich

wähle N größer als der Index des letzten Gliedes der Teilfolge,

im anderen wähle das N aus der Def. von:

Die Teilfolge konvergiert gegen c.

Entsprechend  existiert ein M für die Teilfolgen mit u_n > x_o .

Für alle n > max(N,M) liegen also alle f(u_n) in U_ε(c). Also

konvergieren die f(u_n) gegen c .

Umgekehrt: Wenn  f  gegen c bei x0 konvergiert, dann ist

jede gegen xo konvergierende Folge, die nur aus Gliedern ≥ xo besteht,

auch eine Folge , die gegen xo konvergiert, also hat die Folge der

Funktionswerte den Grenzwert c, ent sprechend für die mit

Gliedern kleiner xo.