Ich muss folgende Aufgabe bearbeiten. Ich habe zwar Ansätze, jedoch weiß ich nicht womit ich mein Beweis anfangen kann.
Aufgabe:
$$\text{ Sei } D \subset \mathbb{R} \text{ ein offenes Intervall und } \\ f:D \longrightarrow \mathbb{R} \text{ eine monotone Funktion.} \\[10pt] \text{ Zu beweisen:} \\ \text{ Für jedes } a \in D \\\text{ die einseitigen Grenzwerte existieren:} \\\lim\limits_{x \nwarrow a}f(x) \land\lim\limits_{x \nearrow a}f(x)$$
Problem/Ansatz:
Erstmal habe ich folgende Definition gefunden, die mir helfen soll die Aufgabe zu lösen:
$$\text{ (1) Gilt } \{\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=c \forall (x_n)_{n\in \mathbb{N}}:x_n \in D \land x_n \gt a\} \land \lim\limits_{n\to\infty}x_n=a \\\Longrightarrow \lim\limits_{x \nearrow a}f(x)=c \text{ Dies ist der rechtseitiger Grenzwert} \\[20pt]\text{ (2) Gilt }\lim\limits_{x \nwarrow a}f(x)=c \Longrightarrow \{\forall (x_n)_{n\in \mathbb{N}}:x_n \in D \land x_n \lt a\} \land \{\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\infty \}\Longrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=c \text{ Dies ist der linkseitiger Grenzwert} \\\text{ Aus (1) und (2)} \Longrightarrow \text{ Gilt }\lim\limits_{n\to\infty}f(x)=c \Longrightarrow \forall (x_n)_{n \in \mathbb{N}}: x\in D \land\lim\limits_{n\to\infty} x_n=\infty \Longrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=c \\\Longrightarrow \text{ Gilt }\lim\limits_{n\to-\infty}f(x)=c \Longrightarrow \forall (x_n)_{n \in \mathbb{N}}: x\in D \land\lim\limits_{n\to-\infty} x_n=-\infty \Longrightarrow \lim\limits_{n\to-\infty}f(x_n)=c$$
Aus der Aufgabenstellung kann ich folgende Informationen entnehmen.
(1) Da die Funktion auf einen offenen Intervall definiert, existiert kein Minimum und Maximum. Außerdem würde ich jetzt behaupten, da keine Intervalle gesetzt wurden und mein Definitionsbereich aus den reellen Zahlen bestimmt, dass erstens es gibt keine Definitionslücke und meine Intervall-grenzen sind minus unendlich und plus unendlich.
(2) Aus der Information, dass meine Abbildung eine Monotone Funktion muss dann folgendes gelten:
$$\forall a,c \in D: a \leq c\ \Longrightarrow f(a) \leq f (c) \\\forall a,c \in D: a \geq c\ \Longrightarrow f(a) \geq (c)$$
Daraus folgt es gibt mindestens einen Punkt ( Nämlich Extremstellen), welches die Abbildung In Intervalle trennt wo die Abbildung monoton wächst, f'(x)=0, und dann die Abbildung monoton fällt ODER die Abbildung fällt monoton, f'(x)=0, Abbildung wächst monoton.
Für die Aufgabe ist dies wichtig, weil ich die Abbildung dann z.B unterteilen kann in:
$$(-\infty,x_0] \land[x_0,\infty)$$
Leider verstehe ich nicht wie weiter vorgehen soll und die Informationen aus der Aufgabenstellung nutzen kann um sie umzuwandeln in die Definition von rechtsseitigen/linksseitigen Grenzwerten und so meine Beweisführung zu führen...
Habe ich etwa in die Falsche Richtung geschaut und man muss was anderes machen um die Aufgabe zu beweisen?
Könnte Ihr mir dabei Helfen?
