h:= af + bg Differenzierbarkeit an der Stelle p ∈ ℝ beweisen

Question

Seien f, g : P → ℝ differenzierbar an der Stelle p ∈ ℝ. Weiter seien a, b ∈  ℝ und h = af + bg. Zeigen Sie dass h an der Stelle p differenzierbar mit h ′(p) = a f ′(p) + b g ′(p).

Wie kann ich das mit dem linearen Approximationssatz beweisen? Ich hab probiert nach o(x-p) aufzulösen aber es kommt nichts sinnvolles raus..

Danke

Comments

Vielleicht erklaerst Du mal genauer, was Du bisher gemacht hast, und wo dann nichts Sinvolles mehr raus kam.

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Gib doch mal eure Formulierung des
Approximationssatzes an. 

Answer 1

Wegen Definition der Ableitung gilt

         f differenzierbar

        ⇒ f'(x) = lim_h→0 ((f(x+h) - f(x)) / h)

        ⇒ b·f'(x) = b·lim_h→0 ((f(x+h) - f(x)) / h)

                = lim_h→0 (b·(f(x+h) - f(x)) / h)

                = lim_h→0 ( ((b·f)(x+h) - (b·f)(x)) / h)

                = (b·f)'(x)

        ⇒ (b·f)'(x) = b·f'(x)

Wegen Rechenregeln für Grenzwerte existieren die angegebenen Grenzwerte.